Condiciones para asegurar que si cada elemento de un grupo finitamente generado es de orden finito, entonces$G$.

Question

En general, no es cierto que cada elemento finito de orden con $G$ finitely generado es suficiente para garantizar que los $G$ es finito.

Me hizo algunas observaciones: la primera observación es incorrecta. Quizá el argumento puede ser utilizado?

1. Si $G$ es finitely presenta, a continuación, los datos anteriores es suficiente para garantizar que los $G$ es finito ya que para los generadores $\{a_i\}$ con el fin de $n_i$, no debería ser un surjection $$\langle a_1, \dots a_n \mid a_1^{n_1}, \dots, a_n^{n_n}\rangle=H \to G$$ tomando el cociente por el normal cierre de nuevas relaciones. O, desde todas las condiciones, dijo en $H$ son verdaderas en $G$ así, debemos ser capaces de encontrar tietze transformaciones que hacen este trabajo.

2. Si $G$ es abelian, también debemos ser bueno en la clasificación teorema.

Pregunta: ¿existen condiciones para que podemos concluir que un finitely generado grupo donde cada elemento es de orden finito, es finito.

Answer 1

No espero ningún condición necesaria y suficiente para que sea otra cosa que reafirmar la condición (podría refinar delimitada de torsión).

Hay muchas clases de grupo que son ampliamente estudiado, donde el infinito los ejemplos siempre tiene infinitos elementos de pedido: acylicdrically hiperbólico grupos, GATO(0) grupos, automático grupos, fg primaria susceptibles de grupos... etc

Una interesante no ejemplo es que aunque susceptible de grupos, en general, tienen infinitas finitely genera torsión ejemplos, en particular Grigorchuk grupos son de torsión, a pesar de que no se han delimitado de torsión. Yo creo que es abierto si no están delimitadas de torsión en los ejemplos de la clase de finitely generado susceptibles de grupos.