¿Cómo probar$\sqrt 2 x + \sqrt {2{x^2} + 2x + 1} + \sqrt {2{x^2} - 10x + 13} + \sqrt {2{x^2} - 22x + 73} \geq \sqrt{157}$?

Question

$ \ quad {\ forall x \ in \ mathbb {R}: \\ \ sqrt 2 x \ sqrt {2 {x ^ 2} 2x 1} \ sqrt {2 {x ^ 2} 13} \ sqrt {2 {x ^ 2} - 22x 73} \ geq \ sqrt {157}} $$ Quiero probar esto. He intentado graficar y ver lo que está pasando ... https: // www.desmos.com/calculator/xgjovvkal6
También traté de demostrarlo por derivación, pero se complicó.
¿Alguien puede darme una idea? Estoy agradecido por adelantado.

Answer 1

Hay una buena prueba para$x\geq0$.

Por Minkowski obtenemos:$$\sqrt 2 x + \sqrt {2{x^2} + 2x + 1} + \sqrt {2{x^2} - 10x + 13} + \sqrt {2{x^2} - 22x + 73}-\sqrt{157}=$ $$$=\sqrt 2\left(\sqrt{x^2} + \sqrt {{x^2} + x + \frac{1}{2}} + \sqrt {{x^2} - 5x + \frac{13}{2}} + \sqrt {{x^2} - 11x + \frac{73}{2}}-\sqrt{\frac{157}{2}}\right)=$