¿La continuidad en los caminos implica continuidad en el espacio?

Question

Supongamos que tenemos un mapa$f:X\rightarrow Y$. Dado cualquier camino en$X$,$\gamma:I\rightarrow X$ sabemos que el mapa compuesto$f\circ\gamma:I\rightarrow Y$ es continuo. ¿Podemos decir que$f$ es continuo?

Nota:$I=[0,1]$ es el intervalo de unidades cerradas en la línea real

Además, estoy interesado específicamente en el caso para el cual$X=I\times I$.

Answer 1

En general, la respuesta es negativa. Por ejemplo, supongamos $X=\Bbb Q$ dotado de la topología estándar (o, más en general, un no-espacio discreto que es hereditariamente desconectado (es decir, que sólo tiene un punto conectado subconjuntos)), $Y=X$ dotado de la topología discreta, y $f$ ser el mapa de identidad (que es discontinuo). Sin embargo, cualquier mapa de $\gamma: I\to X$ es constante, por lo que la composición $f\circ \gamma$ es continua.

Por otro lado, la demanda sostiene al $X$ es un primer contables (es decir, tiene una contables de base en cada uno de su punto de vista) a nivel local pathwise conectado el espacio (es decir, por cada $x\in X$ y cada uno de los vecindarios $U$ de el punto de $x$ existe un entorno $V$ $x$ tal que para cualquier $y\in V$ existe un mapa continuo $\gamma: I\to U$ satisfacción $\gamma(0)=x$ $\gamma(1)=y$ ). De hecho, vamos a $x\in X$ ser un punto arbitrario. Por inducción se puede construir una secuencia $\{U_n:n\in\Bbb N\}$ de abrir los barrios de el punto de $x$ tal que $\{U_n\}$ es una base de a $x$, y para cada una de las $n$ y cada una de las $y\in U_{n+1}$ existe un mapa continuo $\delta: I\to U_n$ satisfacción $\delta(0)=x$$\delta(1)=y$. Suponga que el mapa de $f:X\to Y$ es discontinua en el punto de $x$. Esto significa que existe un entorno $W$ de el punto de $f(x)$ tal que para cualquier barrio $U_n$, $n\ge 2$ existe un punto de $x_n\in U_n$ tal que $f(x_n)\not\in W$. Podemos construir fácilmente un mapa continuo $\gamma_n:\left[1-\frac 1{n-1}, 1-\frac 1{n}\right]\to U_{n-1}$ tal que $\gamma_n\left(1-\frac 1{n-1}\right)=x_n$$\gamma_n\left(1-\frac 1{n}\right)=x_{n+1}$. Ahora definir un mapa de $\gamma: [0,1]\to X$ poniendo $\gamma(t)=\gamma_n(t)$ si $t\in \left[1-\frac 1{n-1}, 1-\frac 1{n}\right]$ algunos $n$$\gamma(1)=x$. Puesto que para cada una de las $n$ el conjunto $U_n$ contiene un conjunto $\gamma_m\left(\left[1-\frac 1{m-1}, 1-\frac 1{m}\right]\right)$ por cada $m>n$, podemos ver que el mapa de $\gamma$ es continua. Pero $f\gamma(1)=f(x)$ $f\gamma\left(1-\frac 1{n}\right)=x_{n+1}\not\in W$ por cada $n$, por lo que el mapa de $ f\gamma$ es discontinua en el punto de $x$.

Answer 2

Supongamos que $f$ no es continua en el punto a $c$. Entonces, por Heines caracterización de la continuidad, debe existir alguna secuencia $x_n$ que tiende a $c$ que es tal que $f(x_n)$ no tienden a $f(c)$. Construir un camino que conecta a todos los miembros del conjunto,$(\bigcup \{{x_n\}_{n\in \mathbb N}}) \bigcup \{c\}$. Puesto que, por hipótesis, $f$ no es continua en a $c$ entonces tenemos que $f(x_n)$ no tienden a $f(c)$, en este camino, pero eso no es cierto, ya $f$ es continua en cada ruta.

Así que, básicamente, lo que dice es verdadero para todos bastante bonito conjunto en $\mathbb R^n$.