Resuelva la ecuación$2x^2-[x]-1=0$ donde$[x]$ es el entero más grande que no es mayor que$x$.

Question

He intentado con$x^2 = {[x]+1\over 2}$ así que$x$ es una raíz cuadrada de medio entero. ¿Y saber? ¿Qué hacer con eso?

Answer 1

Para un aplicables gama, podemos decir que:

$$x-1 < [x] \le x$$

$$x< 2x^2 \le x+1$$

La solución de este, obtenemos:

$$x\in\left[\frac{-1}{2},0\right) \cup \left(\frac{1}{2},1\right]$$

Nuestras raíces deben encuentran en este rango. Así que para cada uno de estos intervalos, sustituir el valor de $[x]$ y resolver.

1. En el primer rango, es decir, $x\in\left[-\frac{1}{2},0\right)$,$[x] = -1$. Así que la ecuación se reduce a:
   $$2x^2+1-1=0$$ Dándonos $x=0$. Esto no está dentro de nuestro intervalo, por lo que este es rechazado.

2. Igualmente trate de $x\in\left(\frac{1}{2},1\right)$. Aquí tenemos a $[x] = 0$, por lo que, $$2x^2 = 1$$ Dando a $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

3. Por último tratar de $x=1$. Aquí tenemos a $[x] = 1$ y esto también satisface la ecuación.

En todos tenemos dos raíces: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $1$

Answer 2

Insinuación. Tenga en cuenta que$x-1<\lfloor x\rfloor \leq x$ implica que$$(2x+1)(x-1)=2x^2-x-1\leq 2x^2-\lfloor x\rfloor-1< 2x^2-(x-1)-1=x(2x-1)$ $

Answer 3

Volver a escribir

$$x=\pm\sqrt{\frac{[x]+1}2}$$ and try increasing values for the integer $ [x] $.

• $[x]=-1\to x=0$: incompabible;

• $[x]=0\to x=\pm\dfrac1{\sqrt 2}$:$x=\color{green}{\dfrac1{\sqrt2}}$ es una solución;

• $[x]=1\to x=\pm1$:$x=\color{green}{1}$ es una solución;

• $[x]=2\to x=\pm\sqrt{\dfrac32}$: a partir de ahora, el RHS es demasiado pequeño, ya no hay solución.

Answer 4

sabemos $0\leq x-\lfloor x \rfloor <1 $ $$\quad{2x^2-\lfloor x \rfloor-1=0 \a \lfloor x \rfloor=2x^2-1 \\para\\0\leq x-(2x^2-1) <1\para \\ \begin{cases}0\leq x-(2x^2-1) \to & -(x-1)(2x+1)\geq 0 & (*)\\ x-(2x^2-1) <1 \to & x(1-2x)<0 & (**)\end{casos} \\\begin{cases} (*) \to & x\in[-\frac12,1]\\ (**)\to &x\in (-\infty,0)\cup(\frac12,\infty) \end{casos}\\(*) \cap(*) =[-\frac12,0) \cup (\frac12,1]}$$ now :with respect to $[-\frac12,0) \cup (\frac12,1]$ floor of $x$ can be $\lfloor x \rfloor =-1,0,1$ para $$\quad{\lfloor x \rfloor =2x^2-1=-1,0,1 \\\lfloor x \rfloor =2x^2-1=-1 \implica 2x^2=0 \implica x=0 \text{ no aceptable}\\ \lfloor x \rfloor =2x^2-1=0 \implica 2x^2=1 \implica x=- \frac{1}{\sqrt 2} \text {, no es aceptable} ,x=+ \frac{1}{\sqrt 2}\text{ aceptable}\tilde\\ \lfloor x \rfloor =2x^2-1=1 \implica 2x^2=2 \implica x=- 1 \text{ no aceptable} ,x=1\text{ aceptable}\tilde\\} $$ summary :the equation have two solution $\bf{x=1,\frac{1}{\sqrt 2}}$