¿Alguien ha leído este artículo?
Este matemático realizado da su opinión sobre por qué no piensa conjuntos infinitos existen y afirma que los axiomas son tonterías. No no estoy de acuerdo con sus argumentos, pero con mis limitados conocimientos de lógica y teoría determinada axiomática, soy incapaz de tomar partido. ¿Alguien seria tan clase que me ilumine sobre por qué sus argumentos son/no son correcto? Gracias
He dejado de leer el artículo en este punto:
(6. Axioma del Infinito: existe un conjunto infinito.
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Y el Axioma 6: Hay un conjunto infinito!? Cómo en los cielos, hicieron de este uno de colarse en aquí? Uno de la totalidad de los puntos de Russell de la crítica es que uno debe ser extremadamente cuidadoso acerca de lo que las palabras infinito 'set' denotan. Uno podría declarar que: No es todo lo ve, el Duende! o Hay un imparable ratón!
Francamente, él está usando un laico de la interpretación de los axiomas y, a continuación, la crítica a esta interpretación por ser impreciso, cuando todo el punto de tener estas interpretaciones es dar a la esencia, sin ser demasiado técnico. La forma común de el Axioma de Infinitud utilizados en la actualidad es la siguiente (poner en palabras en lugar de la lógica de los símbolos):
Hay un conjunto $X$ tiene la propiedad de que $\varnothing$ es un elemento de $X$, y siempre que $x$ es un elemento de $X$, entonces $x \cup \{ x \}$ es también un elemento de $X$.
Esta es una muy precisa de la formulación que se puede demostrar que los rendimientos de un conjunto que no es finito, por lo tanto infinito):
Puede ver que los elementos de $X$ se hacen más grandes y más grandes sin (finito), y por lo que es lógico que un valor de $X$ tiene que ser infinita.
La matemática es un juego de mente. No tiene que ver con el mundo físico. Tanto como no hay ningún número que es de $\frac12$, y no hay ningún número que es $2^{2^{10000}}$, y ciertamente no hay $\Bbb R^{666}$.
Pero la matemática es un juego de mente, donde pretendemos que por el bien del argumento ciertos objetos existe y que los axiomas son usados para describir sus propiedades. En nuestro juego de mente estamos de acuerdo con ciertas reglas de inferencia, y tratamos de deducir más de las propiedades de estos objetos utilizando nuestras reglas de inferencia y nuestros supuestos iniciales que llamamos axiomas.
Si nos lo tomamos con gracia, el documento está destinado a ser una lengua en la mejilla ensayo. Hay numerosos reclamos que, si se toman por su valor nominal, son extremadamente difíciles de defender. Algunos ejemplos:
En la página 6, el autor se pregunta, "¿los modernos textos sobre la teoría de conjuntos inclina hacia atrás para decir precisamente lo que es y lo que no es un conjunto infinito?". Por supuesto que sí, es una simple definición, en cada texto: un conjunto es finito si se puede poner en bijection con un número natural, y es infinito lo contrario.
En la parte inferior de la página 7, la autora afirma que la elección de los postulados de no surgir en su campo, que es posible. Pero, por ejemplo, la Whitehead problema en teoría de grupos es conocido por ser independiente de ZFC, de modo que demostrar o refutar que requiere más axiomas que son generalmente aceptados en matemáticas. La Whitehead problema surgió en el contexto de la teoría de grupo - no las fundaciones - y sólo más tarde se demostró independiente de ZFC.
Cerca de la parte superior de la página 9, el autor (intencionalmente?) confunde la propiedad de un enunciado matemático de ser verdadero o falso con nuestra capacidad para demostrar que es verdadera o falsa.
La existencia de uncomputable reales, que el autor describe en la página 11, es bien conocida por los resultados en la teoría de la computabilidad de ser necesario para que las declaraciones tales como "cada delimitada aumento de la secuencia de los números racionales converge" para ser real, incluso cuando se requieren las secuencias de sí mismos para ser computables. En particular, el reclamo en la página 12 que la computable de los números reales se completa no es constructiva comprobable, como es disprovable en ZFC.
Hay bien escrito y convincentes explicaciones de las diferentes filosofías de las matemáticas, tales como finitism y intuitionism, que el autor describe sólo de manera indirecta. Este papel podría ser mejor como algo para leer después de familiarizarse con los filosofías, para que usted obtenga los chistes que el autor está haciendo.
Recientemente me acordé de la siguiente joya de un aforismo: "lo más molesto acerca de una incorrecta prueba de una correcta teorema es que es muy difícil dar un contraejemplo." Es verdad que los conjuntos infinitos no necesariamente "existir" en la mayoría de los usos de la palabra distinto de la matemática. No es, sin embargo, cierto que la aceptación de la teoría de conjuntos, como las fundaciones foces uno creer en la existencia, en algún sentido, más allá de la matemática. Además, la existencia de "conjuntos infinitos" no es más compleja que la existencia de "finito de conjuntos", en mi opinión.
Yo no soy un lógico (aún), pero la imagen en mi cabeza es como sigue. Los matemáticos al final del día de acuerdo con ciertos sistemas de reglas sobre cómo manipular los símbolos en un pedazo de papel. Estos sistemas están compuestos de dos partes: un lenguaje que consiste en las reglas que dicen que las cadenas de símbolos son válidos (es decir, son oraciones o fórmulas), y la transformación (inferencia) reglas que dicen cómo transformar ciertos (colecciones de) oraciones y fórmulas en otras oraciones y fórmulas. Formalmente, esto es todo lo que hacemos los matemáticos: hemos llegado con los idiomas y las reglas de inferencia, recoger algunas frases o fórmulas en el idioma que parecen interesantes y, a continuación, vamos a intentar obtener algunas otras interesantes frases y fórmulas (se puede conseguir en la lógica matemática si usted se pregunta si usted puede obtener algunas interesantes frases y fórmulas).
Desde este punto de vista formal, la relación con el mundo real es que de vez en cuando de una forma más científica inclinado matemático (o, más comúnmente, un matemático inclinado científico) que utilizan o crear un lenguaje en el que se describen las cosas en el mundo que él o ella observa, y las relaciones entre las cosas que él o ella supone. A continuación, se aplican en cualquier conjunto de reglas de inferencia que utiliza (generalmente básicas de la lógica) a sus condiciones iniciales y las leyes, y así llegar a una nueva frase o fórmula, que se etiqueta una predicción sobre el mundo real. Luego de ir y ver si la predicción es verdadera. Si sí, dicen que el sistema formal se les ocurrió describe el mundo real, lo cual no es cierto: el sistema formal sólo modelos del mundo real, es decir, las funciones de predecir en lugar de describir las cosas sobre el mundo real.
Cosas como los números naturales, las reglas básicas de la aritmética, o el conjunto finito de la teoría Wildberger prefiere, simplemente son sistemas formales que han dado siempre correcto (cuando comprobable) predicciones sobre el mundo real. Lo que la gente realmente quieren decir cuando dicen que 1+1=2 es una evidente declaración es que en casi todos los contextos, la declaración "una cosa y otra cosa nos dan dos cosas", ha demostrado ser cierto. Pero esto es, por supuesto, tautológica, ya que la idea de que 1+1=2, es decir, el lenguaje de la aritmética y sus propiedades básicas son considerados muy interesante, precisamente por el hecho de que el modelo de muchos de los fenómenos que podemos observar muy bien. Es absurdo, sin embargo, para reclamar que el número 1 "existe" en el sentido de la matemática, que es una práctica que nos involucramos, que siempre ha predicho con exactitud ciertas situaciones en el mundo real (es decir, si tomo una manzana y otra de apple, ahora tengo dos manzanas).
¿Qué acerca de "conjuntos infinitos" y ZF(C)? Qué aspecto de la realidad que el modelo? Bueno, ZFC modelos de la realidad de la práctica de hacer matemáticas en el anterior sentido. Se da a los símbolos y las reglas con las que expresar cadenas de símbolos (el conjunto de todos finito de cadenas), el lenguaje (el subconjunto de todas las cadenas válidas), y las reglas de inferencia (funciones sobre conjuntos de fórmulas válidas). Incluso tenemos para ciertos tipos de sistemas formales de Gödel integridad teorema que establece que si una teoría es consistente (el conjunto de teoremas o fórmulas derivadas de los axiomas no incluye "P y no P" para cualquier P), entonces ZFC puede modelo de la teoría en una forma estándar. Suponiendo que ZFC es consistente, la implicación va la otra manera, es decir, modelos de ZFC sólo coherente de teorías si se es coherente.
Por esta razón, casi todos los matemáticos de un objeto (en teoría) han acordado para entender la matemática existencia significa que cualquier forma en que los modelos de ZFC que la teoría, el objeto es representado en el modelo. Esta es la razón por la definición de, digamos, los números racionales o los números reales como clases de equivalencia de lo que no es tan descabellada como podría parecer: es en realidad muestra que los racionales y los reales existen en el sentido de que sus teorías pasar la prueba de consistencia relativa a ZFC. Esto es importante si queremos tener un estándar por el cual para estar seguros de que estos sistemas formales (de los números racionales, los números reales) están libres de contradicciones, es decir, no predecir de forma simultánea "P y no P". De otra manera, porque la manera en que nuestras reglas de inferencia son, sus teoremas son triviales (cada fórmula es un teorema), y por lo tanto su utilidad como modelos del mundo real es nula.
Este joker es sólo jugar a la galería. ¿"Matemáticas $ de $ que necesita? Ha ha ha! "
Para tomar un ejemplo concreto, en la página 10 que ridiculiza la definición estándar de un número racional como una clase de equivalencia de pares ordenados de números enteros. Como usted sabe, esto es perfectamente estándar, y no "matemático logrado" debe tener algún problema con él en todo.
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