Tengo dos condiciones separadas:
a) $\lim\limits_{h\to 0}|f(x+h)-f(x-h)|=0$ para todo $x \in \Bbb R$ y
b) $\lim_\limits{h\to 0}|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)|=0$ para todo $x \in \Bbb R.
Mi pregunta es si cada una de ellas implica que $f$ es continua. $f(x)$ se dice que es continua en $x_0$ si $\lim_\limits{x\to x_0} f(x) = f(x_0) = c.$ Para a) parece ser correcto pero no sé cómo probarlo. Para b), parece incorrecto pero no puedo pensar en un contraejemplo.
Ambos no implican continuidad.
Para (a), considera $f(x)=a$ para $x \ne x_0$ y $f(x_0) =b \ne a$.
Un ejemplo simple puede ser $f(x)=0$ para $x \ne 0$ y $f(0) =1$.
Para (b), considera $f(x)=c$ para $x>x_0$ y $f(x)=d \ne c$ para $x
Un ejemplo simple puede ser $f(x)=1$ para $x>0$ y $f(x)=-1$ para $x<0$ y $f(0)=0.
Ambos son contraejemplos que satisfacen tus condiciones pero no son continuos en $x=x_0$.
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Creo que ambas condiciones combinadas implican continuidad.
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@M.Herzkamp Estoy de acuerdo. Porque entonces $\lim|f(x+h)-f(x)|=\frac{1}{2}\lim|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)+f(x+h)-f(x-h)|\le \frac{1}{2}\lim(|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)|+|f(x+h)-f(x-h)|)=\frac{1}{2}\lim|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)|+\frac{1}{2}\lim|f(x+h)-f(x-h)|=0+0=0$.