¿Es el grupo de unidad de cualquier álgebra de #% % reducidas finitamente generado #% finitamente generado?

Question

¿Si $A$ es conmutativo finitamente generado reducido $\Bbb Z$ álgebra, debe la unidad grupo $A^{\times}$ finitamente generada?

La pregunta está motivada por el teorema de la unidad de Dirichlet que, dice que el grupo de unidad del anillo de enteros algebraicos de cualquier campo finito se genera. Y para otras álgebras de $\Bbb Z$ como campos finitos, los grupos de la unidad son incluso finitos.

Answer 1

"Creo que el caso de que $A$ es finito como $\mathbf Z$-módulo es siempre la verdad".
Sí, es cierto, incluso se presenta como "una generalización de la unidad teorema" en el artículo 4.7 de la P. Samuel folleto sobre la HORMIGA. El caso particular que $A$ es un número entero de dominio es fácil, porque entonces, como usted dijo, $A$ sería una orden de algún campo de número en el carácter $0$ o $A$ sería finito distinto de cero característica.

Pero lo que me preocupa es su sugerencia (que no acabo de comprender) en el número finito de mínimo de los números primos de $A$ a reducir a ese caso en particular, mientras que Samuel se siente obligado a ir con una técnica inductiva de la prueba en el nilradical $N$$A$. Más precisamente, la inducción de los osos en el exponente $s$ tal que $N^s = (0)$. El paso de partida es $s=0$, es decir, $A$ es una reducción de anillo en el que (a$0$) es la intersección de un número finito de primer ideales $P_i$'s, y por lo $A^*$ inyecta en el producto directo de la $(A/P_i)^*$'s, que son finitos tipo según el caso particular. A continuación, suponga $s>1$ y considerar la natural mapa de $\phi : A \to A/N^{s-1}$. Por la hipótesis de inducción $\operatorname{Im}\phi$ es finitely generado, y Samuel muestra que $\ker\phi = 1+N^{s-1}$, y que el último grupo es finitely generado.

Finalmente, tu pregunta original, con el añadido de la suposición de que $A$ es reducido, tiene una respuesta afirmativa, ver P. Samuel, "a propos du théorème des unités", Bull. Sc. Matemáticas., 90 (1966), 89-96).