Palíndromos en múltiples bases

Question

Me di cuenta que cuando una lista de palíndromos en bases de $2$ $3$ que parecen no compartir palíndromos (otros que no trivial de un solo dígito palíndromos). Sin embargo, cuando traté de probar esto, yo no podía resolver. He demostrado que para los números con un número par de dígitos en base $3$ utilizando el hecho de que un número que termina en el dígito $0$ es trivialmente un no-palíndromo desde ceros a la izquierda no se cuentan como dígitos, pero no puedo conseguir por números con un número impar de dígitos en base $3$.

También he usado el hecho de que $$n\equiv \operatorname{sdig}_b(n) \mod{(b+1)}$$ donde $\operatorname{sdig}_b(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ base $b$.

Puede alguien ayudarme a demostrar esto?

Answer 1

No fueron capaces de demostrar porque no es cierto. El OEIS tiene el primer 17 de ellos como la secuencia de A060792, y no se sabe si alguno más existen.

Answer 2

Lamentablemente, $6643_{10}=1100111110011_2=100010001_3$ es un palíndromo en bases $2$ y $3$. $1422773$ y $5415589$ también satisfacen la propiedad.

Answer 3

Tener "mágicamente" encontrar contraejemplos, vamos a explorar cómo podemos encontrar al menos a la primera. Que es lo que realmente se enfrentan a la amenaza de tener que ejecutar miles de pruebas? No se si aplicamos un poco de ingenio.

Una base de 2 palíndromo debe ser impar o bien a la inversa de la base 2 de la representación tiene un cero inicial, no se permite. A continuación, la base 3 de la representación, que se extraña, debe tener un extraño suma de los dígitos (c.f. la base 10 de la prueba de un múltiplo de 3). La única base-3 palindrómicas representaciones coinciden con esta afección tienen la forma $a1a*$ donde $a$ es una base de 3 representación sin ceros delante y $a*$ se obtiene mediante la inversión de los dígitos de $a$ ($a*$ mantiene los ceros iniciales correspondientes a la terminal de ceros de $a$). Tenga en cuenta que no se permite ningún inicial ceros en $a$ automáticamente nos permite esquivar los múltiplos de 3.

Nos deja seleccionar $a=110_3$ como un ejemplo. Mantenimiento de la terminal de cero como un cero inicial de $a*$ da $a*=011_3$, por lo que la extraño base 3 palíndromo $1101011_3$.

Ahora vamos a ver si esto es capicúa en la base 2. Una forma cómoda de hacerlo es convertir a la base 4. El tratamiento de la base 3 de la representación como un polinomio en el cual los dígitos, incluyendo los ceros son sucesivas, los coeficientes de la disminución de los poderes de $x$ y evaluar en $x=3$ el uso de la división sintética. En la base 4 de utilizar la "multiplicación" $3×2=12$ $3×3=21$ para llevar a cabo la aritmética. La aplicación de esta técnica a $1101011_3$:

$$1=1$$ $$1×3+1=10$$ $$10×3+0=30$$ $$30×3+1=211$$ $$211×3+0=1233$$ $$1233×3+1=11032$$ $$11032×3+1=33223$$

Por lo $1101011_3=33223_4$, y de la conversión de cada base de 4 dígitos para la adecuada par de bits, a continuación, da $1111101011_2$.

Esto no puede ser un palíndromo. Una sistemática juicio iba a comenzar con $a=1$ y proceder a $a=2, a=10_3$, etc. Los primeros 26 ensayos fallar, juzgado 27 el lector puede comprobar que $a=1000_3$ da, correctamente, $100010001_3=1213303_4=1100111110011_2$. Esto es $6643_{10}$.