Valor esperado del tiempo de espera

Question

Me encontré con una pregunta de la entrevista:

Hay un tren rojo que viene cada 10 minutos. Hay un tren azul que viene cada 15 minutos. Ambos parten de un tiempo aleatorio para que no tengas ningún programa. Si llega a la estación en un tiempo aleatorio y vaya en cualquier tren que viene de la primera, ¿cuál es el tiempo esperado de espera?

Answer 1

Una forma de abordar el problema es empezar con la supervivencia de la función. En orden a tener que esperar, al menos, $t$ minutos usted tiene que esperar por lo menos $t$ minutos para que tanto el rojo y el azul de tren. Por lo tanto la supervivencia global de la función es sólo el producto de la supervivencia individual funciones:

$$ S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right) $$

que, por $0 \le t \le 10$, es la probabilidad de que usted tendrá que esperar por lo menos $t$ minutos para el siguiente tren. Esto toma en cuenta la aclaración de la OP en un comentario de que el correcto supuestos son que cada tren está en un cronograma fijo independiente de los otros y del viajero del tiempo de llegada, y que las fases de los dos trenes se encuentran distribuidas de manera uniforme,

A continuación, el archivo pdf se obtiene como

$$ p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) $$

Y el valor esperado se obtiene de la forma habitual:

$E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$,

que funciona a $\frac{35}{9}$ minutos.

Answer 2

La respuesta es $$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$ $ partes dentro de los paréntesis: $$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$ $ $$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$ $ por lo tanto, la parte es: $$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$ $ finalmente $$ E [t] = \int_x (15 x-x ^ 2/2) \frac 1 {10} \frac 1 {15} dx = (15 x ^ 2/2-x ^ 3/6) | _0 ^ {10} \frac 1 {10} \frac 1 {15} \\ = (1500-1000/2/6) \frac 1 {10} \frac 1 {15} = 5-10/9\ aproximadamente 3,89$ $

Aquí está el código MATLAB para simular:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

Answer 3

Suponiendo que cada tren es de un calendario fijo independiente del otro y del tiempo de llegada del viajero, la probabilidad ni tren llega en el primer $x$ minutos es $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ $0 \le x \le 10$, que cuando integrado da $\frac{35}9\approx 3.889$ minutos

Por otra parte, suponiendo que cada tren es parte de un proceso de Poisson, la tasa conjunta es $\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ entrena a un minuto, haciendo los espera espera $6$ minutos

Answer 4

Probablemente soy malo pero suponiendo que cada tren de partida de tiempo sigue una distribución uniforme, yo diría que al llegar a la estación en un tiempo aleatorio el tiempo de espera estimado para:

1. el $R$ed tren es $\mathbb{E}[R] = 5$ minutos
2. el $B$lue tren es $\mathbb{E}[B] = 7.5$ minutos
3. el tren que viene la primera es $\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$ minutos

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Como se señaló en los comentarios, me entiende "Ambos comienzan a partir de un tiempo aleatorio" como "los dos trenes de inicio al mismo tiempo aleatorio". Lo cual es una limitante de la asunción.

Answer 5

Supongamos que el rojo y el azul de los trenes lleguen a tiempo según el calendario previsto, con el rojo de horario de comienzo de $\Delta$ minutos después de que el azul de horario, para algunos $0\le\Delta<10$. Para la definición supongamos que el primer tren azul llega a tiempo $t=0$.

Supongamos por ahora que $\Delta$ se encuentra entre $0$ $5$ minutos. Entre el $t=0$ $t=30$ minutos vamos a ver los siguientes trenes y interarrival veces: tren azul, $\Delta$, tren rojo, $10$, tren rojo, $5-\Delta$, azul de tren, $\Delta + 5$, tren rojo, $10-\Delta$, azul de tren. A continuación, la programación de repeticiones, empezando por último tren azul.

Si $W_\Delta(t)$ denota el tiempo de espera para los pasajeros que llegan a la estación en el momento $t$, entonces el argumento de $W_\Delta(t)$ frente al $t$ es un modelo lineal por tramos, con cada segmento de línea decae a cero con pendiente $-1$. Así que el tiempo promedio de espera es el área de $0$ $30$de un conjunto de triángulos, dividido por $30$. Esto le da $$ \begin{align}\bar W_\Delta &:= \frac1{30}\left(\frac12[\Delta^2+10^2+(5-\Delta)^2+(\Delta+5)^2+(10-\Delta)^2]\right)\\&=\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125). \end{align}$$ Aviso que en el anterior desarrollo hay un tren rojo que lleguen $\Delta+5$ minutos después de que un tren azul. Dado que la programación se repite cada 30 minutos, a la conclusión de $\bar W_\Delta=\bar W_{\Delta+5}$, y es suficiente con considerar el $0\le\Delta<5$.

Si $\Delta$ no es constante, sino una variable aleatoria uniformemente distribuida, se obtiene un promedio de tiempo de espera de $$ \frac15\int_{\Delta=0}^5\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125)\,d\Delta=\frac{35}9.$$