distancia desde el centro de un cubo de % de $n$$n \rightarrow \infty$

Question

He descubierto el patrón para el cálculo de la distancia media desde el centro de un n-cubo; pero no tengo una fórmula para la respuesta. ¿Hay una manera fácil de averiguarlo?

Distancia promedio de puntos desde el centro de una unidad 0-cubo (punto)

$$A_0 = 0$$

Distancia promedio de puntos desde el centro de una unidad de 1-cubo (de la línea)

$$A_1 = \int_{x=-\frac{1}{2}}^{x=\frac{1}{2}}{x}\; dx = 0.250000$$

Distancia promedio de puntos desde el centro de una unidad de 2-cubo (plaza)

$$A_2 = \int_{x=-\frac{1}{2}}^{x=\frac{1}{2}}{\int_{y=-\frac{1}{2}}^{y=\frac{1}{2}}\sqrt{x^2+y^2}}\;dy \; dx \approx 0.382598$$

Distancia promedio de puntos desde el centro de una unidad de 3-cubo (cubo)

$$A_3 = \int_{x=-\frac{1}{2}}^{x=\frac{1}{2}}{\int_{y=-\frac{1}{2}}^{y=\frac{1}{2}}\int_{z=-\frac{1}{2}}^{z=\frac{1}{2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\;dz\;dy \; dx \approx 0.480296$$

Distancia promedio de puntos desde el centro de una unidad de 4-cubo (tesseract)

$$A_4 \approx 0.560950$$

Mi instinto es que $A_n \rightarrow \infty$ $n \rightarrow \infty$ como en mi cabeza de dimensiones superiores cubos de ser más espigada y espero que en la misa se concentran en las esquinas. Me siento justificado en diciendo esto porque el número de los "rincones" es $2^n$ con un potencial de distancia de $\frac{\sqrt{n}}{2}$ Si de alguna manera se tratara de acercarse a algún límite, que sería genial (al menos para mí)

Gracias de antemano por cualquier ayuda, consejos o respuestas

Answer 1

Considere la posibilidad de que el espacio es un hipercubo, por lo que cada coordenada es distribuido de forma independiente. La plaza de coordinar la diferencia de $\frac12$ tiene el pdf

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{x}} & 0 \leq x \leq \frac14 \\ 0 & \text{elsewhere} \end{casos} $$

Esta distribución tiene una media de $\frac{1}{12}$ y una variación de $\frac{1}{180}$. Como $n$ aumenta sin límite, el cuadrado de la distancia del punto desde el hipercubo del centro es la suma de $n$ i.yo.d. las variables con la misma distribución, y por lo tanto es asintóticamente una distribución normal (CLT), con una media de $\frac{n}{12}$ y la varianza $\frac{n}{180}$. Por ejemplo, para $n = 180$, tendríamos una media del cuadrado de la distancia de $15$ y una variación de $1$. Que la varianza es bastante pequeño ya que sólo podría tomar la raíz cuadrada de la media del cuadrado de la distancia y, probablemente, obtener una muy buena aproximación de la distancia media.

Por esa lógica, la distancia media sería asintóticamente $\sqrt{\frac{n}{12}}$, se acercó desde abajo, desde la raíz cuadrada de casi una distribución normal con un resultado positivo significa que sería sesgada de esa manera.

Para $n = 1, 2, 3, 4$, esta expresión rendimientos aproximados distancias promedio de $0.289, 0.408, 0.500, 0.577$, que se compara bastante bien con la más precisa de los valores dados en la OP ($0.250, 0.383, 0.480, 0.561$). Estos valores parecen estar acercándose a la expresión asintótica de abajo, como se esperaba, pero ya no está muy lejos.

Answer 2

Esto no resuelve la cuestión. Esta respuesta contiene los detalles de un intento de que finalmente fracasó, pero tal vez puede aún ser de alguna ayuda.

Podemos tratar de enlazar por debajo de la esfera de radio $1/2$ y por encima de la esfera de radio $\sqrt{n}/2$. Los cálculos son un poco más sencilla en hyperspherical coordenadas.

Usted tendrá que los límites $B_n(R)$ están dadas por

$$ \int_{\phi_{n-1}=0}^{2\pi} \int_{\phi_{n-2}=0}^{\pi} \dots \int_{\phi_1=0}^{\pi} \int_{i=0}^R r^n\,(\sin \phi_1)^{n-2}(\sin \phi_2)^{n-3}\dots\,(\sin \phi_{n-2}) \,dr\,d\phi_{1}\,d\phi_{2}\dots d\phi_{n-1}$$

Esto es realmente sólo un producto de las integrales. Observe que $\rho(n,r)=\int_{r=0}^R\, r^n\, dr=\frac1{n+1}R^{n+1}$ y dejar

$$I(n)=\int_{\phi=0}^\pi\,(\sin\phi)^n\,d\phi$$

Entonces

$$B_n(R)=\frac{2\pi R^{n+1}}{n+1}\cdot \prod_{k=1}^{n-2}I(k)$$

Ahora, a través de la integración por partes, se puede encontrar la siguiente recurrencia de la relación entre el $I(k)$, el cual tiene por $k\geq 2$:

$$I(k)=\frac{k-1}{k}\cdot I(k-2)$$

Humm, parece interesante. Cómo hacer algunos de los productos de $P(n)=\prod_{k=1}^{n-2}I(k)$ fin, a la luz de esto? Tenemos:

\begin{align} P(3)&=I(1)\\ \\ P(4) &=I(1)\cdot I(2)\\ &=\frac12 \cdot I(0)\cdot I(1)\\ \\ P(5) &=\frac12 \cdot I(0)\cdot I(1) \cdot I(3)\\ &=\left[\frac12 \cdot \frac23\right]\cdot I(0)\cdot I(1)^2\\ \\ P(6) &=\left[\frac12 \cdot \frac23\right]\cdot I(0)\cdot I(1)^2 \cdot I(4)\\ &=\left[\frac12 \cdot \frac23\cdot \frac34\right]\cdot I(0)\cdot I(1)^2 \cdot I(2)\\ &=\left[\left(\frac12\right)^2 \cdot \frac23\cdot \frac34\right]\cdot I(0)^2\cdot I(1)^2\\ \\ P(7) &=\left[\left(\frac12\right)^2 \cdot \frac23\cdot \frac34\right]\cdot I(0)^2\cdot I(1)^2 \cdot I(5)\\ &=\left[\left(\frac12\right)^2 \cdot \left(\frac23\right)^2\cdot \frac34\cdot\frac45\right]\cdot I(0)^2\cdot I(1)^3\\ \\ P(8) &=\left[\left(\frac12\right)^2 \cdot \left(\frac23\right)^2\cdot \frac34\cdot\frac45\right]\cdot I(0)^2\cdot I(1)^3 \cdot I(6)\\ &=\left[\left(\frac12\right)^3 \cdot \left(\frac23\right)^2\cdot \left(\frac34\right)^2\cdot\frac45\cdot\frac56\right]\cdot I(0)^3\cdot I(1)^3\\ \end{align}

Espero que el modelo muestra cómo la inducción va. Tomando nota de que $I(0)=\pi$ $I(1)=2$ hemos

$$P(n)=c_n\cdot \pi^{\lfloor\frac{n}2\rfloor-1}\cdot 2^{\lfloor\frac{n-1}2\rfloor}$$

donde $c_n$ es la constante dada por el producto de fracciones. El producto es una reminiscencia de una telescópica producto, y que contará con todas las fracciones de la forma$\frac{k}{k+1}$$\frac12$$\frac{n-3}{n-2}$. Las dos últimas fracciones será elevado a la potencia $1$, los anteriores dos fracciones en el poder $2$, y así sucesivamente y así sucesivamente. Con las cancelaciones, podemos reconocer que

$$c_n=\frac1{(n-2)!!}$$

donde $k!!$ denota el doble factorial de $k$.

Poniendo todo junto, se obtiene:

$$B_n(R)=\frac{2^{\lfloor\frac{n+1}2\rfloor}\cdot\pi^{\lfloor\frac{n}2\rfloor}\cdot R^{n+1}}{(n+1)\cdot(n-2)!!} $$

Y, a continuación,$B_n(1/2)\leq A_n\leq B_n(\sqrt{n}/2)$. Sería interesante obtener algunas estimaciones asintóticas aquí. No se ve inmediatamente claro para mí, y no estoy seguro de esto resuelve el problema.

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Parece que uno puede expresar la doble impar factorial en términos de la función gamma a través de

$$(2k-1)!!=\frac{2^k\cdot\Gamma\left(k+\frac12\right)}{\sqrt{\pi}}$$

Por lo tanto, por extraño $n=2k+1$ hemos

$$(n-2)!!=\frac{2^{\frac{n-1}2}\cdot\Gamma\left(\frac{n}2\right)}{\sqrt{\pi}}$$

De ello se sigue que

\begin{align} B_{2k+1}(R) &=\frac{2\cdot\pi^{\left(k+\frac12\right)}\cdot R^{2k+2}}{(2k+2)}\\ &=\frac{2\cdot{\left(\sqrt{\pi}\right)}^{2k+1}\cdot R^{2k+2}}{(2k+2)}\\ &=\frac{1}{(k+1)\,\sqrt{\pi}}\cdot{\left(R\,\sqrt{\pi}\right)}^{2k+2}\\ &=\frac{1}{(k+1)\,\sqrt{\pi}}\cdot{\left(R^2\,\pi\right)}^{k+1} \end{align}

Es claro que a medida que $k\to \infty$, $B_{2k+1}(R)\to 0$ si $R^2\,\pi\leq1$ $\to\infty$ si $R^2\,\pi>1$. En particular, para $R=1/2$ el límite del límite inferior $0$, por lo que no resuelve nuestro problema.

Answer 3

Claramente el límite es infinito como media el volumen del cubo se encuentra en la región donde el valor absoluto de las coordenadas se suma a algo mayor que n/4.

OK vamos a elaborar: basta con considerar el orthant positivo. Aquí el mapa de (x_1,..., x_n) a (1/2-x_1,...,1/2-x_n) muestra que exactamente la mitad de los puntos por volumen x_1+...+x_n>n/4. El punto más cercano al origen con esta propiedad es (1/4,...,1/4) está a una distancia de sqrt (n) / 4 del origen...