Cómo calcular $ \int_ {-1}^{1} e^{-1/(1-x^2)}dx$ ?

Question

Como en el título, me gustaría calcular la integral:

\begin {ecuación} \int_ {-1}^{1}e^{-1/(1-x^2)}dx \end {ecuación}

Mi corazonada me dice que debería tratar de transformarla en la correspodación $ \int_ {-1}^{1} e^{-y^2}dy$ pero no estoy seguro.

¡Gracias por su tiempo!

Answer 1

$$ \begin {eqnarray*} \color {red}{I}= \int_ {-1}^{1} \exp\left ( \frac {1}{x^2-1} \right )\,dx &=& 2 \int_ {0}^{1} \exp\left ( \frac {1}{x^2-1} \right )\,dx= \int_ {0}^{1} \exp\left ( \frac {1}{z-1} \right ) \frac {dz}{ \sqrt {z}} \\ &=& \int_ {0}^{1} \exp\left (- \frac {1}{z} \right ) \frac {dz}{ \sqrt {1-z}}= \int_ {1}^{+ \infty } \frac {dt}{t e^t \sqrt {t^2-t}} \\ &=& \int_ {0}^{+ \infty } \frac {e^{-(u+1)}du}{(u+1) \sqrt {u(u+1)}}= \frac {2}{e} \int_ {0}^{+ \infty } \frac {e^{- \eta ^2}\,d \eta }{(1+ \eta ^2)^{3/2}} \\ &=& \color {red}{ \frac { \sqrt { \pi }}{e}\,U \left ( \frac {1}{2},0,1 \right )} \end {eqnarray*}$$

donde $U(a,b,z)$ es el Tricomi's función hipergeométrica confluente .

Si tomamos la última integral y cambiamos a transformaciones de Fourier, eso puede ser escrito también como: $$ \frac {2}{e \sqrt { \pi }} \int_ {0}^{+ \infty } e^{-s^2/4} s\, K_1(s)\,ds $$ donde $K_1$ es un función de Bessel modificada del segundo tipo . Las aproximaciones numéricas ajustadas se derivan del hecho de que la última función integradora es suave y se apoya esencialmente en $[0,4]$ desde que la integral sobre $[4,+ \infty )$ es extremadamente pequeño. Nosotros también lo hemos hecho: $$ \int_ {-1}^{1} \exp\left ( \frac {1}{x^2-1} \right )\,dx = \frac {2}{e} \int_ {0}^{ \pi /2}e^{- \tan ^2 t} \cos t\,dt.$$ Las desigualdades triviales son: $$ \color {red}{0.412 \ldots }= \sqrt { \frac {2 \pi }{5e^2}}= \frac {2}{e} \int_ {0}^{+ \infty }e^{-5u^2/2}\,du \leq \color {red}{I} \leq \frac {2}{e} \int_ {0}^{+ \infty } \frac {du}{(1+u^2)^{5/2}}= \frac {4}{3e} = \color {red}{0.490 \ldots }$$

Answer 2

$ \int_ {-1}^1e^{- \frac {1}{1-x^2}}~dx$

$= \int_ {-1}^1e^{ \frac {1}{x^2-1}}~dx$

$= \int_ {-1}^0e^{ \frac {1}{x^2-1}}~dx+ \int_0 ^1e^{ \frac {1}{x^2-1}}~dx$

$= \int_1 ^0e^{ \frac {1}{(-x)^2-1}}~d(-x)+ \int_0 ^1e^{ \frac {1}{x^2-1}}~dx$

$= \int_0 ^1e^{ \frac {1}{x^2-1}}~dx+ \int_0 ^1e^{ \frac {1}{x^2-1}}~dx$

$=2 \int_0 ^1e^{ \frac {1}{x^2-1}}~dx$

$=2 \int_0 ^ \infty e^{ \frac {1}{ \tanh ^2x-1}}~d( \tanh x)$

$=2 \int_0 ^ \infty e^{- \frac {1}{ \text {sech}^2x}}~d( \tanh x)$

$=2 \int_0 ^ \infty e^{- \cosh ^2x}~d( \tanh x)$

$=2 \left [e^{- \cosh ^2x} \tanh x \right ]_0^ \infty -2 \int_0 ^ \infty\tanh x~d \left (e^{- \cosh ^2x} \right )$

$=4 \int_0 ^ \infty e^{- \cosh ^2x} \sinh x \cosh x \tanh x~dx$

$=4 \int_0 ^ \infty e^{- \cosh ^2x} \sinh ^2x~dx$

$=4 \int_0 ^ \infty e^{- \frac { \cosh2x +1}{2}} \dfrac { \cosh2x -1}{2}dx$

$=2e^{- \frac {1}{2}} \int_0 ^ \infty e^{- \frac { \cosh2x }{2}}( \cosh2x -1)~dx$

$=e^{- \frac {1}{2}} \int_0 ^ \infty e^{- \frac { \cosh2x }{2}}( \cosh2x -1)~d(2x)$

$=e^{- \frac {1}{2}} \int_0 ^ \infty e^{- \frac { \cosh x}{2}}( \cosh x-1)~dx$

$=e^{- \frac {1}{2}} \left (K_1 \left ( \dfrac {1}{2} \right )-K_0 \left ( \dfrac {1}{2} \right ) \right )$