Cómo mostrar $\zeta (1+\frac{1}{n})\sim n$

Question

Cómo mostrar $\zeta (1+\frac{1}{n})\sim n$ $n\rightarrow \infty$ $\zeta$ Dónde está el Riemann zeta función.

Y podemos decir $\lceil \zeta (1+\frac{1}{n}) \rceil=n$ para cualquier entero positivo $n\geq 1$. ¿Cómo probarlo?

Answer 1

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que tenemos

$$\int_2^\infty \frac{1}{x^{1+1/n}}\,dx\le \sum_{k=2}^\infty\frac{1}{k^{1+1/n}}\le \int_1^\infty \frac{1}{x^{1+1/n}}\,dx \tag 1$$

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Alerta de SPOILER: Desplazarse sobre el área resaltado para revelar la soluiton

Evaluación de la parte derecha de $(1)$, podemos ver que $$\int_1^\infty \frac{1}{x^{1+1/n}}\,dx=n \tag 2$$ while evaluating the right-hand side of $(1)$, we see that $$\int_2^\infty \frac{1}{x^{1+1/n}}\,dx=n2^{-1/n} \tag 3$$Then, note that $$n2^{-1/n}\le n-\log(2)+\frac1{2n} \log^2(2) \tag 4$$Using $(2)-(4)$ in $(1)$, we find that $$n+(1-\log(2))+\frac1{2n} \log^2(2) \le \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{1+1/n}}\le n+1$$from which we conclude that $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^{1+1/n}}\sim n$$

Answer 2

En esta respuesta, se muestra que cerca de $s=1$ $$ \zeta(s)=\frac1{s-1}+\gamma+O(s-1) $$ por lo tanto, \zeta\left(1+\frac1n\right)=n+\gamma+O\left(\frac1n\right) $$ $$

Answer 3

Según esta página

$$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n$$

el % de términos $γ_n$ser constantes de Stieltjes. Así que, si $s=1+\frac 1n$ % $ $$\zeta\big(1+\frac 1n\big)=n+\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!} \gamma_i \; \frac 1{n^i}=n+\gamma+\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^i}{i!} \; \frac{\gamma_i } {n^i}$

Answer 4

¿Es igual a $\displaystyle \left.\frac d {ds} \, \frac 1 {\zeta(s)}\right|_{s=1}$ $1$? Si es así, entonces $$ 1 = \lim_{s=1} \frac{\dfrac 1 {\zeta(s)} - \dfrac 1 {\zeta(1)}}{s-1} = \lim_{s=1} \frac{\left(\dfrac 1 {\zeta(s)}\right)}{s-1}, $ $ que $$ \zeta(s) \sim \frac 1 \text {s-1} {como} s\to 1. $ Aplicar esto cuando $s=1 + \dfrac 1 n$.