Demostrar que $f$ no es continua para cualquier valor en $\mathbb R$ .

Question

Tengo algunos problemas en la siguiente prueba:

Dejemos que $f:\mathbb{R\to R}$ sea dada por: $$ f(x) = \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q \\ 0,&x\notin\mathbb Q \end{cases} $$

Demostrar que $f$ no es continua para cualquier valor en $\mathbb R$ .

¿Puede alguien ayudarme con esto?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $x\in \Bbb R$ y $\epsilon=1/2$ . Si $f$ es continua, entonces debe haber un $\delta$ región alrededor de $x$ que se envía completamente dentro de $(f(x)-\epsilon, f(x)+\epsilon)$ .

Pero, ¿qué sabes de los racionales e irracionales en los intervalos? Haz un dibujo para los dos casos ( $f(x)=1$ y $f(x)=0$ ) y deberías ver lo que pasa.

Answer 2

Dejemos que $x\in\mathbb R$ . Demuestre que existe una secuencia de números racionales $q_n\to x$ y otra secuencia de números irracionales $r_n\to x$ .

Tenemos que $\lim_{n\to\infty} q_n=\lim_{n\to\infty} r_n$ . Pero, ¿qué se puede decir de $\lim_{n\to\infty} f(q_n)$ y $\lim_{n\to\infty} f(r_n)$ ?

Answer 3

Recordemos que si una función es continua, entonces también es secuencialmente continua.

Ahora considere $x \in \mathbb{R}$ .

Si $x \in \mathbb{Q}$ , considere la secuencia $x_n = x - \dfrac1{n\sqrt2}$ . Claramente, $x_n \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ y $x_n \to x$ .

Por lo tanto, $f(x_n) = 0$ para todos $x_n$ mientras que $f(x) = 1$ .

Haga un argumento similar cuando $x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ . Considere la secuencia $x_n = \dfrac{\lfloor 10^n x \rfloor}{10^n}$ . Claramente, $x_n \in \mathbb{Q}$ y $x_n \to x$ .

Por lo tanto, $f(x_n) = 1$ para todos $x_n$ mientras que $f(x) = 0$ .

Answer 4

Dejemos que $x \in \mathbb{R}$ . Sea $0 < \epsilon < 1$ . Por la densidad de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ para cualquier $\delta > 0$ podemos encontrar un racional $q \in (x - \delta, x + \delta)$ y un irracional $r \in (x - \delta, x + \delta)$ . Si $x \in \mathbb{Q}$ entonces $|f(x) - f(r)| = 1$ . Por lo demás, $|f(x) - f(r)| = 1$ . Por lo tanto, $f$ no es continua en $x$ .