Tengo problemas para ver cómo incluso % $ $$\sqrt{n^2+2n}-\lfloor\sqrt{n^2+2n}\rfloor=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}.$no puedo ver dónde empezar.
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Suponiendo que $n$ es un entero no negativo, sabemos que
$$ n^2 \leq n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$$
Por lo tanto, esto demuestra que $\lfloor \sqrt{n^2 + 2n} \rfloor = n$, lo que simplifica la LHS a
$$ \sqrt{n^2+2n} - n.$$
Ahora vamos a trabajar en la simplificación de los RHS, multiplicando el numerador y el denominador por $n$, obtenemos
$$ \frac {2}{ \sqrt{1+ \frac {2}{n}} + 1} \times \frac {n}{n} = \frac {2n} {\sqrt{n^2 +2n} +n}$$
También vamos a racionalizar el denominador, multiplicando todo por $\frac {\sqrt{n^2+2n} -n}{\sqrt{n^2+2n}-n}$ obtener
$$\frac {2n} {\sqrt{n^2 +2n} +n} \times \frac {\sqrt{n^2+2n} -n}{\sqrt{n^2+2n}-n} = \frac {(2n) ( \sqrt{n^2+2n} - n)}{(n^2+2n) - (n^2)} = \sqrt{n^2+2n} - n$$
Por lo tanto, LHS = RHS.
Nota: La afirmación no es cierta para números enteros negativos, ya que la primera desigualdad no tiene.
DiGi
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Tenga en cuenta que $(n+1)^2=n^2+2n+1$, lo $\sqrt{n^2+2n}=\sqrt{(n+1)^2-1}$, y por lo tanto
$$\left\lfloor\sqrt{n^2+2n}\right\rfloor=n\;.$$
Por lo tanto,
$$\begin{align*} \sqrt{n^2+2n}-\left\lfloor\sqrt{n^2+2n}\right\rfloor&=\sqrt{n^2+2n}-n\\ &=\sqrt{n^2\left(1+\frac2n\right)}-n\\ &=n\left(\sqrt{1+\frac2n}-1\right)\\ &=n\left(\sqrt{1+\frac2n}-1\right)\cdot\frac{\sqrt{1+\frac2n}+1}{\sqrt{1+\frac2n}+1}\\ &=\frac{n\left(1+\frac2n-1^2\right)}{\sqrt{1+\frac2n}+1}\\ &=\frac2{\sqrt{1+\frac2n}+1}\;. \end{align*}$$
Añadido: en realidad me verificado el resultado exactamente como he escrito esto, pero tengo un montón de experiencia. Después de notar que la del lado izquierdo es $\sqrt{n^2+2n}-n$, probablemente sería mejor que tratar de simplificar la derecha. Hay dos maneras naturales para empezar a hacerlo. Uno es multiplicar por
$$\frac{\sqrt{1+\frac2n}-1}{\sqrt{1+\frac2n}-1}$$
para racionalizarlo, y el otro es multiplicar por $\dfrac{n}n$ a deshacerse de la fracción en el interior de la raíz cuadrada. Si usted racionalizar, usted todavía desea multiplicar por $\dfrac{n}n$ a deshacerse de la fracción en el interior de la raíz cuadrada; si usted puede deshacerse de la fracción primera, usted todavía desea racionalizar, a pesar de la racionalización de factor será diferente de la que usted use si usted racionalizar la primera.
