Cómo determinar sin calculadora cuál es más grande, $\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ o $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$

Question

¿Cómo puedes determinar cuál de estos números es mayor (sin calcular)?

$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ , $\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}$

Answer 1

Eleva a ambos al poder de $6$ .

Como ambos son positivos, su orden se mantendrá y obtendrás:

$$\left({\dfrac{1}{2}}\right)^2=\frac{1}{4} > \frac{1}{27}=\left({\dfrac{1}{3}}\right)^3$$

Answer 2

No es necesario hacer ningún cálculo: como estamos hablando de números entre $0$ y $1$ Una raíz cúbica es mayor que una raíz cuadrada: $$\Bigl(\frac12\Bigr)^{1/3}>\Bigl(\frac12\Bigr)^{1/2}>\Bigl(\frac13\Bigr)^{1/2}\ .$$

Answer 3

¿Cuándo es $x^y > y^x$ ? Cuando $x^{1/x} > y^{1/y}$ . Veamos la función $x^{1/x}$ . Diferenciando, encontramos que tiene un máximo en $x=e$ . Desde $1/2$ y $1/3$ son ambos menores que $e$ el que está más cerca gana. Así que $(1/2)^2 > (1/3)^3$ , así que $(1/2)^{1/3} > (1/3)^{1/2}$ .

Pero más aún, esto demuestra que $e^\pi > \pi^e$ , que puede ser mucho más difícil sin una calculadora.

Answer 4

$((\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}})^6=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$

$((\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}})^6=(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$

Por lo tanto, como se desprende de las relaciones anteriores, $((\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}})^6>((\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}})^6$ Así que podemos decir $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}>(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}}$

Answer 5

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]1}{\sqrt[3]2}=\frac1{\sqrt[3]2}$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt1}{\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}$$ Ahora es obvio que $$\sqrt[3]2<\sqrt3$$ Así, $$\frac1{\sqrt[3]2}>\frac1{\sqrt3}$$