Probando el estabilizador es un subgrupo del grupo para probar el teorema de órbita-estabilizador

Question

Tengo que probar el OS teorema. El sistema operativo teorema establece que para algunos del grupo de $G$, actuando en algunos de $X$, obtenemos

$$ |G| = |\mathrm{Orbe}(x)| \cdot |G_x| $$

Para probar esto, me dijo que esto puede ser escrito como

$$ |\mathrm{Orb}(x)| = \frac{|G|}{|G_x|}$$

Con el fin de demostrar la RHS, puedo decir que podemos usar el teorema de Lagrange, suponiendo que el estabilizador es un subgrupo del grupo G, que estoy bastante seguro de que es. Yo realmente no sé cómo me gustaría ir a probar esto, sin embargo. También, yo estaba pensando, que esto sería probar todo teorema o simplemente la RHS?

Simplemente no quería a Google una prueba, yo quería probar y con uno mismo, porque es más fácil de recordar. A menos que haya una más fáciles de la prueba?

Answer 1

Usted está en el camino correcto. Por definición,$G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}$. Supongamos que $g,h\in G_x$; a continuación,$$(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)=g\cdot x=x\;,$$ so $ gh\en G_x$, and $G_x$ is closed under the group operation. Moreover, $$g^{-1}\cdot x=g^{-1}\cdot(g\cdot x)=(g^{-1}g)\cdot x=1_G\cdot x=x\;,$$ so $g^{-1}\en G_x$, and $G_x$ is closed under taking inverses. Thus, $G_x$ is indeed a subgroup of $G$. To finish the proof, you need only verify that there is a bijection between left cosets of $G_x$ in $G$ and the orbit of $x$.

Añadido: La idea es mostrar que así como todos los elementos de a $G_x$ actuar de forma idéntica en $x$ (por no moverse en absoluto), por lo que todos los elementos de una izquierda coset de $G_x$ actuar de forma idéntica en $x$. Si también se puede mostrar que cada coset actúa de manera diferente en $x$, vamos a tener establecido un bijection entre la izquierda cosets de $G_x$ y los miembros de la órbita de $x$.

Deje $h\in G$ ser arbitraria, y supongamos que $g\in hG_x$. A continuación, $g=hk$ algunos $k\in G_x$, y $$g\cdot x=(hk)\cdot x=h\cdot(k\cdot x)=h\cdot x\;.$$ In other words, every $g\en hG_x$ acts on $x$ the same way $h$ does. Let $\mathscr{G}_x=\{hG_x:h\G\}$, the set of left cosets of $G_x$, y vamos a

$$\varphi:\mathscr{G}_x\to\operatorname{Orb}(x):hG_x\mapsto h\cdot x\;.$$

La función de $\varphi$ está bien definido: si $gG_x=hG_x$,$g\in hG_x$, y nos mostró que en ese caso $g\cdot x=h\cdot x$.

Es claro que $\varphi$ es un surjection: si $y\in\operatorname{Orb}x$, $y=h\cdot x=\varphi(hG_x)$ algunos $h\in G$. Para completar el argumento de que sólo necesitan demostrar que $\varphi$ es inyectiva: si $h_1G_x\ne h_2G_x$,$\varphi(h_1G_x)\ne\varphi(h_2G_x)$. Este es quizás el más fácil de hacer en la prueba de los contrapositivo: supongamos que $\varphi(h_1G_x)=\varphi(h_2G_x)$, y muestran que la $h_1G_x=h_2G_x$.

Answer 2

Podemos tener la reclamación por $(G\mid\Omega)$ que es transitiva y así obtenemos $$|G|=|\Omega||G_{\omega}|$$ To see this, put $\Omega^*=\{G_{\omega}x\mid x\in G\}$and define the following map: $$f:\Omega^*\to\Omega,\;\;f(G_{\omega}x)=\omega^x$$ You can easily verify that $f$ is well-defined and is a bijective. Both $\Omega^*$ and $\Omega$ are finite and then $$|\Omega|=|\Omega^*|=[G:G_{\omega}]$$

No puso la condición de ser transitivo a un lado, usted tendrá su propio reclamo como otros confirmados.

Answer 3

Debe mostrar que la identidad de $G$ fija $x$, y que si $g,h\in G$ ambos fijar $x$ y $gh$ fija $x$. Esto establece que $G_x$ es un subgrupo de $G$.

Esto no acabará la prueba, aunque le permitirá decir que $\frac{\lvert G\rvert}{\lvert G_x\rvert}$ es el número de cojunto de $G_x$ $G$ (izquierda o derecha, hay el mismo número de cualquier manera). Necesita encontrar una biyección entre estos cojunto y la órbita de $x$ en $G$.

Answer 4

Que $x\in X$. El conjunto de $H=\{g\in G:gx=x\}$ es un subgrupo de $G$. Consideremos ahora la función $f:G/H\rightarrow Orb(x)$ $g+H$ $gx$ que. Es fácil verificar que $f$ es una biyección. Por lo tanto, $Orb(x)=G/H$. Finalmente utilizar Teorema de lagrange para obtener $|G|=|H||G/H|$