Encontrar los números primos asociados $(x_0) \cdot (x_0, x_1) \cdot \dots \cdot (x_0, \dots, x_r)$ $k[x_0, \dots x_r]$

Question

Estoy estudiando Eisenbud del Álgebra Conmutativa, con miras a la Geometría Algebraica, y estoy teniendo algunos problemas con el siguiente problema (Ejercicio 3.9 en el libro):

Deje $k$ ser un campo, y deje $I$ ser el ideal $(x_0) \cdot (x_0, x_1) \cdot \dots \cdot (x_0, \dots, x_r)$$k[x_0, \dots x_r]$. Muestran que los asociados de los números primos de $I$$(x_0), (x_0, x_1), \dots, (x_0, \dots, x_r)$.

La parte de atrás del libro contiene la sugerencia

Hacer la inducción en $r$, la inversión de $x_r$, y usando el Teorema 3.1.

Teorema 3.1, entre otras cosas, establece que los asociados de los números primos de $R[U^{-1}]$ corresponden a los asociados de los números primos de $R$ que son distintos de $U$. Basados en esto, se parece como el paso inductivo deberíamos involucrar a probar algo como esto:

Deje $R_i$ ser el anillo $$k[x_0, x_1, \dots, x_r, x_r^{-1}, x_{r-1}^{-1} \dots, x_{i+1}^{-1}],$$ y deje $I_i$ ser el ideal $$(x_0) \cdot (x_0, x_1) \cdot \dots \cdot (x_0, \dots, x_i)$$ de $R_i$. Suponga que los asociados de los números primos de $I_i$$(x_0), (x_0, x_1), \dots, (x_0, \dots, x_i)$. A continuación, los primos asociados de $I_{i+1}$$(x_0), (x_0, x_1), \dots, (x_0, \dots, x_{i+1})$.

Por el Teorema 3.1, es suficiente para mostrar que la única asociada de primer orden de $I_{i+1}$ que contiene $x_{i+1}$$(x_0, \dots, x_{i+1})$. Sin embargo, no estoy seguro de cómo mostrar este.

Esto es lo que Eisenbud significaba con su sugerencia? Si es así, ¿cómo puedo finalizar la prueba?

Answer 1

Vamos $R = k[x_0,\dots,x_r]$, $P_n = (x_0,x_1,\dots,x_n)$ y definir $I_n = P_0 P_1 \cdots P_n$. Claramente $I_0 = P_0$ es un alojamiento ideal y para el conjunto de los primos asociados de $R/I_0$ es sólo $\left\{P_0\right\}$. Ahora, supongamos que por inducción que la asociada a los números primos de $R/I_n$ son, precisamente,$\left\{P_0,P_1\dots,P_n\right\}$. Considere la posibilidad de $I_{n+1}$. Desde $I_{n+1}R_{x_{n+1}} = I_n R_{x_{n+1}}$, se deduce que todos los $P_0,\dots,P_n$ se asocian los números primos de $R/I_{n+1}$. Por otra parte, $P_{n+1}$ es, precisamente,$I_{n+1} : x_0 x_1 \dots x_n$, y por lo $P_{n+1}$ es una asociada de primer orden de $R / I_{n+1}$. Ahora vamos a demostrar que no hay otros asociados de los números primos. Con este fin, el aviso de que los asociados de los números primos de $I_{n+1}$ son los ideales de la forma$(x_{j_1},\dots,x_{j_\ell})$,$j_i \le n+1$, desde el más pequeño anillo que contiene a$I_{n+1}$$k[x_0,\dots,x_{n+1}]$. Si $Q$ es una asociada de primer orden diferente de $P_0,\dots,P_{n+1}$, entonces uno de sus generadores tiene que ser $x_{n+1}$ (de lo contrario localizar en $x_{n+1}$, $Q$ debe ser uno de los $P_0,\dots,P_n$). Desde $Q \supset I_{n+1}$, $Q$ debe contener uno de los $P_0, \dots\, P_{n+1}$. Desde $x_{n+1} \in Q$ la única posibilidad es $Q \supset P_{n+1}$, del que se desprende que $Q = P_{n+1}$, la contradicción y prueba completa.

De hecho, se puede demostrar que \begin{align} (x_0)(x_0,x_1)\cdots(x_0,\dots,x_r) = (x_0) \cap (x_0,x_1)^2 \cap (x_0,x_1,x_2)^3 \cap \cdots \cap (x_0,\dots,x_r)^{r+1},\end{align} donde el lado derecho es una de las principales de la descomposición de la del lado izquierdo.