¿Eigenkets mutuas implica la conmutación de dos operadores?

Question

He estado trabajando en esta cuestión. Me lo ha solucionado, y me gustaría comprobar si mi razonamiento es correcto o incorrecto

Pregunta:

Probar que si existe un mutuo conjunto completo de eigenkets de Hermitian operadores de $\hat{A}$$\hat{B}$$[\hat{A},\hat{B}]=0$.

Prueba:

Deje $\{|i\rangle\}$ ser un conjunto completo de mutuo eigenkets para$\hat{A}$$\hat{B}$. A continuación,$\hat{A}|i\rangle=a_i|i\rangle$$\hat{B}|i\rangle=b_i|i\rangle$, también desde el conjunto se completa que significaría que cualquier estado $|\phi\rangle$ se puede escribir como una combinación lineal de $|i\rangle$.

También se $[\hat{A},\hat{B}]|i\rangle= \hat{A}\hat{B}|i\rangle - \hat{B}\hat{A}|i\rangle$ a continuación, utilizando las propiedades anteriores se puede concluir que el colector es 0.

Esto es correcto? también lo físico es el significado de esto? Es realmente necesario que el operador se Hermitian?

También, se puede demostrar lo contrario?

Answer 1

Tienes razón que hay una versión de el resultado que no requiere hermiticity.

Vamos a denotar el espacio de Hilbert en esta pregunta por $\mathcal H$ y se supone que es finito-dimensional para evitar la matemática sutilezas. Cuando usted escribe $$ \hat A|i\rangle = a_i|i\rangle $$ usted está utilizando el hecho de que la base staes $|i\rangle$ son egeinvectors de $\hat A$. No se garantiza que existe una base en $\mathcal H$ consta de los vectores propios de cualquier operador lineal. Hay, sin embargo, un teorema llamado Teorema Espectral que garantiza que si un operador $\hat A$ es hermitian, entonces no es un orthornmal base para $\mathcal H$ consta de los vectores propios de a $\hat A$.

Sin embargo, tenga en cuenta que el Teorema Espectral no requieren que el operador se hermitian. Ciertamente hay lineal de operadores en $\mathcal H$ que no son Hermitian que, no obstante, son diagonalizable en cuyo caso no hay una base para $\mathcal H$ consta de los vectores propios de este operador. Nos podría ser la siguiente:

Teorema. Deje $\hat A$ $\hat B$ lineal de los operadores sobre una finito-dimensional espacio de Hilbert $\mathcal H$, si existe una base para $\mathcal H$ que consiste en simultáneo vectores propios de la linealidad de los operadores de $\hat A$$\hat B$,$[\hat A, \hat B] = 0$.

De hecho, el recíproco de este teorema también es cierto; si los operadores conmutan y cada uno es diagonalizable, entonces existe un simultánea eigenbasis para ellos.

En la mecánica cuántica, la física importancia de los desplazamientos, hermitian operadores es que pueden ser medidos simultáneamente. Cuando realice una medición de cada una de las características observables en el sistema, a continuación, después de la medición, el estado del sistema será proyectada en la simultánea de un espacio propio de los dos operadores.