Pregunta con producto interno

Question

Esta es una pregunta que estoy tratando de resolver desde el día de ayer.

Deje $T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ ser una transformación lineal tal que

$$\begin{equation} \langle u,v\rangle = 0, \langle Tu,v\rangle >0\quad\Rightarrow\quad \langle u,Tv\rangle >0 \end{equation}$$

Tenemos a la prueba de la siguiente

1) $\langle u,v\rangle = 0$, $\langle Tu,v\rangle =0\quad\Rightarrow\quad \langle u,Tv\rangle =0$;

2) existe una base ortonormales para $T$;

3) $T$ es simétrica.

Estoy atascado en el primer punto...realmente parece fácil, pero yo no puedo probar esto. He usado de Cauchy-Schwarz desigualdad a ver que si tenemos $\langle u,v\rangle=0$$\langle Tu,v\rangle=0$,$|\langle u,Tv\rangle + \langle v,Tv\rangle| = 0$, en ese caso quiero mostrar que la $\langle v,Tv\rangle=0$ por lo que esto implica $\langle u,Tv\rangle=0$. También, con ese $u$$v$, tengo que $\langle u,v+T^\ast v\rangle=0$. Yo no sé qué hacer de aquí...yo soy de ideas, cualquier ayuda es muy bienvenida.

Answer 1

Supongamos que $\langle u,v\rangle=0$. Entonces, por supuesto, $\langle -v,u\rangle=0$.

Si $\langle u,Tv\rangle >0$, esto es $\langle Tv,u\rangle >0$ y así $\langle v,Tu\rangle >0$, es decir, $\langle Tu,v\rangle >0$.

Del mismo modo, si $\langle u,Tv\rangle <0$, entonces el $\langle u,T(-v)\rangle >0$ y así por el anterior párrafo $\langle Tu,-v\rangle >0$, es decir, $\langle Tu,v\rangle <0$.

Los dos últimos párrafos muestran eso si $\langle u,Tv\rangle\ne0$, entonces el $\langle Tu,v\rangle\ne0$. Así que, si $\langle Tu,v\rangle=0$, entonces el $\langle u,Tv\rangle =0$.