¿El % de condiciones $a^2b^2=b^2a^2$y $a^3b^3=b^3a^3$ hacer el abelian de grupo $G$?

Question

Satisface a un grupo $G$ $a^2b^2=b^2a^2$ y $a^3b^3=b^3a^3$. Demuestra que el grupo es abeliano.

También por favor dígame si hay cualquier enfoque estándar en probar commutativity de grupos como este problema.

Answer 1

G no tiene que ser finito. Deje $M \subset G$ ser el subgrupo generado por todas las plazas y deje $N \subset G$ ser el subgrupo generado por todos los cubos. Estos subgrupos son claramente abelian normal subgrupos. Desde el 2 y el 3 son coprime $G = MN$ (uso del Teorema de Bézout!) y $M \cap N$ está contenida en el centro de la $Z(G)$$G$. Para demostrar que $G$ es abelian basta para mostrar que $M$ $N$ viaje, que es $[M,N]=1$. Tenga en cuenta que $[M,N] \subseteq (M \cap N)$. Deje $x \in M$$y \in N$. A continuación,$[x, y] = x^{−1}y^{−1}xy \in M \cap N$. Por lo tanto $[x, y] = z$$z \in Z(G)$. Por lo tanto $y^{−1}xy = zx$, de donde $y^{−1}x^3y=z^3x^3$. Desde $x^3 \in N$ viajes con $y$, lo $z^3=1$. Del mismo modo $z^2=1$. Desde $2$ $3$ son relativamente primos, llegamos a la conclusión de $z=1$.