longitud esperada del palo roto

Question

Rompes un palo de longitud unitaria en dos. A continuación, rompes el mayor de los dos lados resultantes en dos, obteniendo así tres piezas.

¿Cuál es la longitud esperada del más pequeño de los tres?

(Se supone que cada rotura de un palo se produce en un punto aleatorio de ese palo, distribuido uniformemente).

Answer 1

Si el palo más corto después de la primera rotura tiene longitud $S$ entonces $S$ distribuido uniformemente en $[0,\frac{L}{2}]$ .

Si $S=s$ entonces la parte más corta del palo más largo tendrá la longitud $T$ distribuido uniformemente en $[0,\frac{L-s}{2}]$ . Seguramente tendrá $T \lt s$ si $\frac{L}{3} \lt s \le \frac{L}{2}$ .

Así que la expectativa del mínimo de $S$ y $T$ es

$$\int_{s=\frac{L}{3}}^\frac{L}{2} \int_{t=0}^\frac{L-s}{2} t \frac{2}{L-s} \frac{2}{L} \,dt\,ds + \int_{s=0}^\frac{L}{3} \int_{t=0}^s t \frac{2}{L-s} \frac{2}{L} \,dt\,ds + \int_{s=0}^\frac{L}{3} \int_{t=s}^\frac{L-s}{2} s \frac{2}{L-s} \frac{2}{L} \,dt\,ds $$ $$= \frac{7 L}{144} +2L\log\left( \frac{3}{2}\right)-\frac{7L}{9} +\frac{5L}{3} -4L\log\left( \frac{3}{2}\right) $$ $$= L\left(\frac{15}{16} -2\log\left( \frac{3}{2}\right) \right)$$ lo mismo que la respuesta de did

Answer 2

Las longitudes de los dos trozos de un palo de longitud $L$ son $\frac12(1\pm U)L$ , donde $U$ es uniforme en $(0,1)$ . Por lo tanto, las longitudes de las tres piezas son $$ \frac12(1-U),\quad \frac14(1+U)(1+V),\quad\frac14(1+U)(1-V), $$ donde $U$ y $V$ son i.i.d. uniformes en $(0,1)$ . El más pequeño $S$ de estas tres longitudes es $S=\frac12(1-U)$ en $A=[V\lt a(U)]$ y $S=\frac14(1+U)(1-V)$ en $B=[V\gt a(U)]$ , donde $a$ se define por $$ a(u)=\frac{(3u-1)^+}{u+1}. $$ Desde $\mathbb E(A\mid U)=a(U)$ , $$ \mathbb E(S\mathbf 1_A\mid U)=\frac12(1-U)a(U). $$ Igualmente, $$ \mathbb E(S\mathbf 1_B\mid U)=\frac14(1+U)\mathbb E((1-V)\mathbb 1_{V\gt a(U)}\mid U)=\frac14(1+U)\frac12(1-a(U))^2. $$ La suma de estos resultados da como resultado $$ \mathbb E(S\mid U)=\frac12(1-U)a(U)+\frac18(1+U)(1-a(U))^2, $$ que puede simplificarse en $$ \mathbb E(S\mid U)=\frac18(1+U)-\frac18\frac{((3U-1)^+)^2}{1+U}. $$ Así, $\mathbb E(S)=\frac3{16}-\tfrac18t$ con $$ t=\int_{1/3}^1\frac{(3u-1)^2}{1+u}\mathrm du=\int_0^{1}\frac{4x^2}{2+x}\mathrm dx, $$ es decir, $$ t=\left[2x^2-8x+16\log(2+x)\right]_{0}^1=-6+16\log\left(\frac32\right). $$ Finalmente, $$ \mathbb E(S)=\frac{15}{16}-2\log\left(\frac32\right)=0.12657\ldots $$

Answer 3

Al hacer el primer corte, la pieza más grande tiene la longitud $p$ que se distribuye uniformemente en $[\frac12, 1]$ . (Y así la pieza más pequeña tiene longitud $1-p$ distribuidos uniformemente en $[0, \frac12]$ pero, por supuesto, no es independiente de la longitud $p$ de la pieza mayor).

Del mismo modo, al cortar este trozo de longitud $p$ en un punto elegido uniformemente, el más pequeño pieza de los dos tiene longitud $q$ distribuidos uniformemente en $[0, \frac{p}{2}]$ .

Por lo tanto, la más pequeña de las tres piezas tiene una longitud $\min(q, 1-p)$ . Podemos calcular su valor esperado como $$ \int_{1/2}^{1} \int_{0}^{p/2} \min(q, 1-p) \;(\frac{1}{p/2}dq) \;(\frac{1}{1/2}dp) = \int_{1/2}^{1} \frac{4}{p} \int_{0}^{p/2} \min(q, 1-p) \;dq \;dp$$

Si $p/2 \le 1-p$ (lo que ocurre cuando $p \le 2/3$ ), entonces como $q \le p/2 \le 1-p$ siempre es el caso que $\min(q, 1-p) = q$ por lo que la integral interna se convierte en $$ \int_{0}^{p/2} \min(q, 1-p) \;dq = \int_{0}^{p/2} q \;dq = \frac{p^2}{8}.$$

De lo contrario, para $p/2 > 1-p$ la integral interna se puede dividir como $$\begin{align} \int_{0}^{p/2} \min(q, 1-p) \;dq &= \int_{0}^{1-p} q \;dq + \int_{1-p}^{p/2} (1-p) \;dq \\ &= (1-p)^2/2 \;\;+\;\; p(1-p)/2 - (1-p)^2 \\ &= p(1-p)/2 - (1-p)^2/2 \end{align}$$

Así que la integral exterior es $$\begin{align} &\int_{1/2}^{1} \frac{4}{p} \int_{0}^{p/2} \min(q, 1-p) \;dq \;dp \\ &=\int_{1/2}^{2/3} \frac{4}{p}\frac{p^2}{8} \;dp + \int_{2/3}^{1} \frac{4}{p}(\frac{p(1-p)}{2} - \frac{(1-p)^2}{2})\;dp \\ &=\int_{1/2}^{2/3} p/2 \;dp + \int_{2/3}^{1} \left(2(1-p) - \frac{2(1-p)^2}{p}\right) \; dp \\ &= \frac{7}{144} + \frac{1}{9} - (\log(9/4) - 7/9)\\ &= \frac{15}{16} - \log\left(\frac94\right) \approx 0.12657 \end{align}$$

Parece una respuesta muy extraña, pero se confirma a grandes rasgos con la siguiente simulación:

#!/usr/bin/env python
import random
num_samples = 0
sum_samples = 0
for num_samples in xrange(1, 100000000):
    r1 = random.uniform(0, 1)
    p = max(r1, 1 - r1)
    r2 = random.uniform(0, p)
    q = min(r2, p - r2)
    cur_sample = min(q, p - q, 1 - p)
    sum_samples += cur_sample
    average = sum_samples / num_samples
    if num_samples % 100000 == 0:
        print 'Average is %.5f after %d samples' % (average,num_samples)