Atrapados a causa de un posible error en el ejercicio de "Cómo demostrarlo" por Velleman

Question

Soy auto-estudio "Cómo demostrarlo" por Velleman, y creo que debe haber un error en el ejercicio 3.3 #14.

Te voy a mostrar aquí la cuestión, y donde creo que está el error y, a continuación, me gustaría saber si usted cree que estoy en lo correcto que hay un error, o si no, donde me estoy perdiendo el barco?

El ejercicio:

"Supongamos $ \{A_i \mid i \in I \} $ es una familia indizada de conjuntos. Demostrar que $ \bigcup_{i \in I} \mathbb{P}(A_i) \subseteq \mathbb{P}(\bigcup_{i \in I} A_i) $."

Donde creo que el problema sea:

A mí me parece que el lado izquierdo del subconjunto símbolo sería un "conjunto" (en otras palabras, "plano", si se quiere), mientras que el lado derecho sería un "conjunto de conjuntos." Para mí, parece que la definición de subconjunto hace imposible que un "set" para ser un subconjunto de un conjunto de conjuntos.

Es el libro equivocado, o soy yo? (Sospecho que estoy equivocado, pero después de acercarse a ella desde varios ángulos diferentes, yo simplemente NO veo DONDE).

Gracias.

Answer 1

Supongamos $A_1=\{1,2\}$$A_2=\{2,3\}$. A continuación,$\mathbb P(A_1) = \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$$\mathbb P(A_2) = \{\varnothing,\{2\},\{3\},\{2,3\}\}$, por lo que $$ \mathbb P(A_1)\cup\mathbb P(A_2) = \{\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\}\} $$ y que es un subconjunto de $$ \mathbb P(A_1\copa A_2) = \{ \varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\} \}. $$

Por supuesto, esto no probar el resultado, pero muestra cómo su objeción a la conclusión de falla algo.

Answer 2

El ejercicio es correcto. En realidad, no entiendo tu problema. Decir que $A\subseteq B$ significa que cualquier elemento de a $A$ es un elemento de $B$. Es completamente irrelevante si los elementos de a $A$ son manzanas, números o conjuntos. (Esto es importante: En matemáticas, hacemos un seguimiento con la notación del "tipo" de un conjunto, y tienen elementos, conjuntos y colecciones de conjuntos, las familias de las colecciones, etc. Pero la distinción es puramente allí para conveniencia notacional. En realidad, no hay "tipos", y los elementos de un conjunto pueden ser ellos mismos los conjuntos cuyos elementos son conjuntos cuyos elementos son conjuntos ... Aunque parezca difícil seguir la pista de todo esto en un momento dado, la moral es que probablemente usted no necesita. Por ejemplo, en el caso que nos ocupa, esto no juega ningún papel, y la naturaleza de los propios socios de la $A_i$ no es importante.)

De todos modos, las dos cosas a recordar son que

1. Si $A\subseteq B$,$\mathcal P(A)\subseteq \mathcal P(B)$, y
2. Si para cada una de las $i$ en un conjunto de índices $I$ tenemos un conjunto $B_i$, y sucede que cada una de las $B_i$ es un subconjunto de a$C$,$\bigcup_{i\in I}B_i\subseteq C$.

Estas son las dos afirmaciones que usted necesita para comprender, y verificar, y el ejercicio se sigue inmediatamente de ellos. Si cualquiera de las declaraciones le ofrece dificultades, asegúrese de que las dificultades son matemáticos, y no el resultado actual de su intuición (y, por supuesto, siéntase libre de pedir más aclaraciones). Pero, de nuevo, comprobar que el problema no es que "parece que algo no debe funcionar". Después de todo, si usted apenas está aprendiendo un nuevo sujeto, más probable es que su intuiciones no están completamente desarrollados, sin embargo, y puede sugerir conclusiones erróneas (como parece que es el caso aquí).

Answer 3

Al ver las matemáticas como fundada en la teoría de conjuntos, la idea es que "todo es un conjunto". Conjuntos de conjuntos son aún conjuntos.

Es totalmente razonable que preocuparse acerca de las jerarquías, aunque. Diversos trabajos de fundaciones, de hecho, ha utilizado los sistemas en los que las "cosas", y "conjuntos de cosas", y "conjuntos de conjuntos de cosas" eran diferentes.

Pero el uso habitual de la teoría de conjuntos no tiene la intención de esta distinción, evitando paradojas restringiendo el conjunto de la formación de otras maneras.

Answer 4

Cuando tienes una duda, volver a las definiciones y a tratar de ocultar lo que parece problemático. Set $B_i=\mathbb{P}(A_i)$.

Un elemento de $\bigcup_{i \in I} B_i$ es un objeto, vamos a llamar a $X$, de tal manera que $X\in B_j$, para algunas de las $j\in I$. No te preocupes por el caso de las letras, que son arbitrarias las etiquetas. Bien, $X\in B_j$$X\in\mathbb{P}(A_j)$, lo $X\subseteq A_j$.

Buenas! Ahora recordamos que $A_j\subseteq\bigcup_{i\in I}A_i$, por lo que, por transitividad, $X\subseteq\bigcup_{i\in I}A_i$, lo que significa que $$ X\in\mathbb{P}\Bigl(\bigcup_{i\in I}A_i\Bigr) $$ Hecho! Hemos demostrado $$ \bigcup_{i\in I}\mathbb{P}(A_i) \subseteq \mathbb{P}\Bigl(\bigcup_{i\in I}A_i\Bigr). $$

Por cierto, la inclusión es estricta, en general. De hecho, la igualdad se mantiene, cualquier subconjunto $Y$ $\bigcup_{i\in I}A_i$ debe ser en algunas de las $\mathbb{P}(A_j)$, en particular $$ \bigcup_{i\in I}A_i\subseteq A_j $$ para algunos $j\in I$. Esto implica $A_i\subseteq A_j$ todos los $i\in I$. Así, si la igualdad se mantiene, uno de los conjuntos de la familia contiene a todos los demás; de lo contrario es casi obvio.