¿Una función creciente aplicada dentro de integrales definidas conservará la desigualdad?

Question

Si $$\int_a^b f(x) \,dx > \int_a^b g(x) \,dx$$

y existe una función $h(x)$ que es estrictamente creciente con $x$ ¿Implica eso que $$\int_a^b h(f(x)) \,dx > \int_a^b h(g(x)) \,dx$$ ?

Answer 1

No. Considera $a=0$ , $b=2$ , $$f(x) = \begin{cases}3 & x<1 \\ 0 & x \ge 1\end{cases}$$ $$g(x) = 1$$ $$h(x) = \sqrt{x}$$

Answer 2

Para cualquier función continua de valor real $f$ en $[a,b]$ , dejemos que $V(f) = \int_a^b f(x)\, dx$ . Sólo por conveniencia, tomaré $a=-1/2$ y $b = 1/2$ . Supongamos que para alguna función continua $h$ en $\mathbb R$ y todos los polinomios $f$ y $g$ de grado $\le 1$ con coeficientes reales, $V(f) < V(g)$ implica $V(h(f)) < V(h(g))$ . Entonces $V(f) = V(g)$ implica $V(h(f)) = V(h(g))$ . Ahora para $f(x) = c x + d$ y $g(x) = d$ tenemos $V(f)=d$ Así que $V(h(g)) = V(h(g))$ es decir $\int_{-1/2}^{1/2} h(cx+d)\ dx = \int_{-1/2}^{1/2} h(d)\ dx = h(d)$ . Utilizando el cambio de variables $t = cx+d$ esto se convierte en $\int_{d-c/2}^{d+c/2} h(t)\ dt = c h(d)$ . Tome la derivada con respecto a $c$ para conseguir $\frac{h(d+c/2) + h(d - c/2)}{2} = h(d)$ . Es bien sabido que para los continuos (o incluso medibles) $h$ esto implica $h$ es una función afín.