La definición de Kuratowski, ampliamente aceptada, de un par ordenado es $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$ . Esta definición tiene mucho sentido en el contexto de la teoría de conjuntos de primer orden. Sin embargo, ¿cómo sería una teoría de primer orden que utilizara los pares ordenados como noción básica?
Mi primer intento utilizó el alfabeto $S_{pair}=\{l,r\}$ , donde $l$ y $r$ son símbolos de funciones unarias.
- Axiomas de los átomos La parte izquierda y derecha de un átomo $x$ son los mismos que $x$ en sí mismo. Un par es un átomo si es igual a su parte izquierda o derecha: $$\forall x(l(x) \equiv x \Leftrightarrow r(x) \equiv x)$$ Dejemos que $Ax$ sea una abreviatura de $(l(x) \equiv x \lor r(x) \equiv x)$ es decir $Ax$ si y sólo si $x$ es un átomo.
- Axioma de extensionalidad Dos pares $x$ y $y$ son iguales (o $x$ o $y$ es un átomo) si sus partes izquierda y derecha son iguales: $$\forall x \forall y ((l(x) \equiv l(y) \land r(x) \equiv r(y)) \Rightarrow (x \equiv y \lor Ax \lor Ay))$$
- Axioma de emparejamiento Para dos pares $x$ y $y$ existe un par $z$ (que no es un átomo) con $x$ y $y$ como parte izquierda y derecha: $$\forall x \forall y \exists z(\lnot Az \land l(z) \equiv x \land r(z) \equiv y)$$
- Esquema del axioma de inducción Para cada fórmula $\phi(x,y_1,...,y_k)$ en el lenguaje de pares, se cumple el axioma de inducción de primer orden, es decir $\phi(x,\bar{y})$ con $\bar{y}=y_1,...,y_k$ es verdadera para todos los pares $x$ si es cierto para todos los átomos $x$ y verdadero si es verdadero para la parte izquierda y derecha de $x$ : $$\forall \bar{y}((\forall x (Ax \Rightarrow \phi(x,\bar{y})) \land$$ $$\forall x((\phi(l(x),\bar{y})\land \phi(r(x),\bar{y})) \Rightarrow \phi(x,\bar{y})))$$ $$\Rightarrow \forall x \phi(x,\bar{y}))$$
Podría añadir otro axioma para asegurar que existe exactamente un átomo (que sería entonces el par vacío), pero esto no cambiaría significativamente la teoría resultante. Me pregunto más bien si el esquema axiomático de la inducción, tal como se ha dado, logrará lo que pretendo. ( Nota Al tratar de demostrar esto, descubrí que los axiomas estaban "bugueados", lo que traté de arreglar introduciendo la abreviatura $Ax$ y utilizarlo adecuadamente).
Pregunta ¿Tendrá la teoría de primer orden de los pares dada anteriormente la misma "fuerza de consistencia" que PA, si además aseguramos que sólo hay un número fijo determinado de átomos mediante un axioma adicional? ¿Será la teoría resultante equivalente a PA en cierto modo?
Una idea alternativa para una teoría axiomática de primer orden de los pares sería tomar los pares ordenados de conjuntos como objetos básicos ( s-pares para abreviar), y definir pares y conjuntos en términos de estos s-pares . Podría usar el alfabeto $S_{s-pair}=\{\in,\ni\}$ donde $\in$ y $\ni$ serían símbolos de relación binaria. Podría definir que un par s $p$ es un par si su parte izquierda y derecha no contienen más de un elemento ( $\forall x \forall y(((x \in p \land y \in p) \lor (p \ni x \land p \ni y)) \Rightarrow x \equiv y)$ ). La definición más simétrica para un conjunto parece ser definir que un par s $s$ es un conjunto si su parte izquierda y derecha contienen los mismos elementos ( $\forall x(x\in s \Leftrightarrow s \ni x)$ ).
Sin embargo, ahora se plantea la cuestión de cómo "convertir" mejor los axiomas ZF de la teoría de conjuntos en axiomas similares para los pares s. Tal vez ya sería suficiente con modificar sólo el axioma de extensionalidad, dejar todos los demás axiomas para referirse sólo a $\in$ y sólo añadir un axioma que permita reagrupar las partes izquierda y derecha, como $$\forall l \forall r \exists p(\forall x(x \in p \Leftrightarrow l \ni x)\land\forall y(p \ni y \Leftrightarrow y \in r))$$
Pregunta La cosa con el s-pares descrito anteriormente parece muy relacionado con los números surrealistas y los juegos de Conway. ¿Existe algún lugar donde se describa con suficiente detalle dicha teoría de primer orden? ¿Funciona más o menos la construcción anterior y da una teoría con la misma "fuerza de consistencia" que ZF, o hay diferencias significativas con ZF que he pasado por alto (es decir, que impiden que dicha teoría tenga propiedades similares a ZF)?
