¿Cuál es el uso de funciones trigonométricas hiperbólicas si son fácilmente expresable algebraico?

Question

Me sale que hay usos $\sin(x)$ y $\cos(x)$ porque se definen con exponentes imaginarios que no son tan fácilmente con las funciones hiperbólicas son simplemente $\frac12(e^x\pm e^{-x})$. No veo por qué sería necesario definir una función para representar esto. Es como definir una función para representar el valor de $2$.

La otra vez que me ocurre de donde es una función de "inútil" con fines pedagógicos tales como la función de identidad.

Answer 1

En la misma forma que el % de punto $(\cos\theta,\sin\theta)$es en el círculo, el punto $(\cosh\theta, \sinh\theta)$ está en una hipérbola (por lo tanto la parte hiperbólica). Demuestran para arriba todo el tiempo en soluciones a la ecuación del calor, y una cuerda que cuelga es realmente una función de coseno hiperbólico. Muchas muchas razones por qué queremos tener una notación para él.

Answer 2

$\cos(\theta)$ $\sin(\theta)$ son esenciales para la comprensión de la geometría de la esfera, como el océano navegantes han conocido por un par de milenios. $\cosh(t)$ $\sinh(t)$ son igualmente esenciales para la comprensión de la geometría en el plano hiperbólico.

Answer 3

considere la posibilidad de $y''+y=0$ con condiciones iniciales $y(0)=0,y'(0)=1$$y(0)=1, y'(0)=1$. las soluciones se $\sin x$$\cos x$.

del mismo modo, $y''-y=0$ con condiciones iniciales $y(0)=0,y'(0)=1$ $y(0)=1, y'(0)=1$ dar $\sinh x$$\cosh x$.

(trascendental soluciones de ecuaciones diferenciales, a menudo obtener los nombres cuando se utilizan a menudo: $e^x$, funciones de bessel, de weierstrass $\wp$, etc.)

como $x=\cos t, y=\sin t$ da una velocidad de unidad de parametrización de la unidad de círculo, $x=\cosh t, y=\sinh t$ da una 'unidad de velocidad" parametrización de la unidad de la hipérbola.

Answer 4

Pero $\sin x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$$\cos x = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}$. Así que no necesitamos seno o coseno.

Las funciones hiperbólicas son útiles para calcular el seno y el coseno con argumentos complejos... \begin{align*} \sin(x+\mathrm{i}y) &= \sin x \cosh y + \mathrm{i} \cos x \sinh y \\ \cos(x+\mathrm{i}y) &= \cos x \cosh y - \mathrm{i} \sin x \sinh y \end{align*}