Encontrar la suma de todos los números impares entre dos polinomios

Question

Me preguntó esto por alguien de mi tutor y estaba perplejo.

Hallar la suma de todos los números impares entre el $n^2 - 5n + 6$ $n^2 + n$ $n \ge 4.$

He escrito un par de casos y trató de encontrar un patrón, pero no tuvo éxito.

Llame polinomio 1, $p(n) = n^2 - 5n + 6,$ $p(4)=2.$ el Próximo, llamada polinomio 2, $q(n)=n^2 + n,$$q(4)=20.$, a Continuación, añadir todos los números impares entre 2 y 20 da la siguiente suma:

$3+5+7+9+11+13+15+17+19= 99. \\$

$p(5)= 6$ $q(5)=30.$ , a Continuación, añadir todos los números impares entre 6 y 30 da la siguiente suma: $7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29=216 \\$

$p(6)=12$ $q(6)= 42.$ , a Continuación, añadir todos los números impares entre 12 y 42 da la siguiente suma: $13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39+41 = 405.$

Desde aquí no veo ningún aparente patrones. Este problema se da en un Pre-curso de Cálculo, por lo que claramente sólo primaria métodos se espera por parte de los estudiantes.

Cualquier consejo o ayuda sería muy apreciada. Gracias!!!!!

Answer 1

Ya $n^2+n$ es incluso podemos escribir los números impares entre los dos polinomios para sumar como: $$n^2+n-1,n^2+n-3,\cdots,n^2+n-(6n-7)$ $ y porque la suma de números impares entre $1$y $2k+1$ es $(k+1)^2$ tenemos: $$\sum_{i=0}^{3n-4}(n^2+n-(2i+1))=(3n-3)(n^2+n)-(3n-3)^2 $ $

Answer 2

@Elaqqad dio un muy elegante respuesta, así que voy a tratar de dar el "especial de pre-calc accesible" respuesta, aprovechando el hecho de que tenemos una serie aritmética.

Nota:$p(n) = n^2 - 5n + 6 = (n-3)(n-2)$, mientras que$q(n) = n^2 + n = n(n+1)$,$p(n) < q(n)$.

Ahora, $p(n)$ $q(n)$ son tanto que incluso, por lo que estamos sumando los números impares de$p(n)+1 = n^2 - 5n + 7$$q(n)-1 = n^2 + n - 1$.

Por lo tanto, tenemos $a_1 = n^2 - 5n + 7$ $a_k = n^2 + n - 1$ donde $a_k - a_1 = 6n - 8 = 2(3n - 4)$.

Sabemos que la secuencia de $a_i$ de los números impares es la aritmética con diferencia común $2$, y por lo tanto tiene la fórmula $a_i = a_1 + 2(i-1)$. Ya hemos encontrado a $a_k - a_1 = 2(3n - 4)$, sabemos que nuestro último término se logra cuando la $i - 1 = 3n - 4$, por lo que el $i = 3n - 3$, y tenemos $3(n-1)$ términos.

Por lo tanto, utilizando infame fórmula

$$S_k = \frac{k(a_1 + a_k)}{2},$$

tenemos $$S_k = \dfrac{3(n-1)(2n^2 - 4n + 6)}{2} = \dfrac{6(n-1)(n^2 - 2n + 3)}{2} = 3(n-1)(n^2-2n + 3).$$