Pequeña confusión sobre la prueba de convergencia

Question

Tengo que probar que $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5}{10+n}$ converge o diverge.

Lo primero que noté es que se parece a la serie armónica divergente. Primero hice la prueba de divergencia del enésimo término, que resultó no ser concluyente.

Entonces, debido a la mencionada serie armónica, pensé en hacer una prueba de comparación. Si $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5}{10+n}$ y sabemos que la serie armónica diverge, entonces $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5}{10+n}$ diverge. Ahora, aquí está la cosa:

Podría escribir $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5}{10+n}$ como $5\cdot\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{10+n}$ pero $\frac{1}{n} \nleq \frac{1}{10+n}$ . Sin embargo, $\frac{1}{n} \leq \frac{5}{10+n}$ pero sólo de $n \geq 3$ .

Esto es lo que no sé hacer: En todos los ejemplos que he visto, $n$ es siempre $\geq 1$ y no se menciona si importa si se inicia su $n$ de otro lugar.

Lo segundo es que es fácil ver que $\frac{1}{n} \nleq \frac{1}{10+n}$ ya que un denominador mayor significa un número menor. Sin embargo, con $\frac{1}{n} \leq \frac{5}{10+n}$ no es tan fácil de ver. ¿Cómo podría probar que es así, de $n \geq 3$ ?

Tercera opción ;-): ¡Hacer una prueba de comparación de límites!

Answer 1

Puedes utilizar la prueba de comparación directa (mi favorita cuando puedo hacerla funcionar). Una cosa a tener en cuenta es que la desigualdad no tiene que ser verdadera para todos $n$ , sólo la "cola" completa de la serie. Esto se debe a que los primeros términos finitos siempre suman algo finito. Sólo importa lo que ocurre para todos los $n\geq N$ (puede especificar $N$ para ser cualquier número finito que se quiera).

Podrías hacer una comparación directa como ésta (para que la desigualdad sea fácil de ver): Ten en cuenta que $\displaystyle C\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ diverge para cualquier $C>0$ En este caso, elegiré $C=\frac{1}{11}$ .

$$\frac{1}{11}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{11n} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+10}\leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{n+10}.$$

Tenga en cuenta que $11n \geq n+10$ desde $n\geq 1$ y menor denominador (mismo numerador) significa mayor fracción.

Una alternativa podría ser esta: Observe que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+10}$ es lo mismo que $\displaystyle \sum_{n=11}^{\infty} \frac{1}{n}$ . Desde $\displaystyle \sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n}$ es finito y $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ es infinito, se puede concluir que $\displaystyle \sum_{n=11}^{\infty}\frac{1}{n}$ también es infinito (de lo contrario, la suma de dos números finitos no puede ser infinita).

Answer 2

Otro tipo de prueba de comparación muestra que

$\frac{ \frac{1}{n} }{\frac{5}{10+n}} \to \frac{1}{5}$ (const.) como $n\to \infty$ y $\sum^\infty \frac{1}{n}\to \infty$ como $n\to \infty$ implica $\sum^\infty \frac{5}{10 + n}$ diverge.

Answer 3

De hecho, la propiedad $\sum_{n=0}^\infty ra_n=r\sum_{n=0}^\infty a_n$ se aplica sólo cuando la serie dada $\sum_{n=0}^\infty a_n$ es convergente, por lo que no tiene sentido cuando se escribe $\sum_{n=1}^\infty\frac{5}{10+n}$ como $5.\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{10+n}$ .

Answer 4

TODAS las series convergen o divergen, así que no hay nada que demostrar aquí... Equivalentemente, la prueba es sencilla.

Sin embargo, si tiene que determinar si la serie converge o diverge y probarlo, sugeriría sustituirlo por $k=10+n$ y mira la serie resultante $$\sum\limits_{k=11}^{\infty}\frac5k$$ que es $$\sum\limits_{k=11}^{\infty}\frac5k = 5\sum\limits_{k=11}^{\infty}\frac1k = 5\left( \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac1k - \sum\limits_{k=1}^{10}\frac1k\right)$$