¿Una función $f$ dos veces diferenciable, tal que el % se limita $f$y $f''$ implica $f'$ limitada?

Question

Que $f:(0,\infty) \to \mathbb{R} $ dos veces diferenciable. Supongamos que $A$, $C$ $(0,\infty)$ tal que para cada $x>0$ tenemos $|f(x)|<A$ y $|f''(x)|<C$. Demostrar que para cada $x>0$ y cada $h>0$ tenemos $|f'(x)| \le (A/h)$ + $Ch$

Aplicando el teorema de valor medio

$f'(x)-f'(y) = f''(c) (x-y)$ $c$. Puesto que limita $f''$ $C$

$f'(x)-f'(y) \le C (x-y)$. Que $h=x-y$ tenemos

$f'(x) \le Ch + f'(y)$

¿Cómo puedo límite $f'(y)$ $A/h$ para obtener el límite deseado??

Answer 1

$f$ Es dos veces diferenciable, podemos utilizar el MVT para escribir

$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac12 f''(\xi)h^2$$

$x<\xi<x+h$. Rearraning vemos que

$$f'(x)=\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)-\frac12 f''(\xi)h$$

A continuación,

$$\begin{align} |f'(x)|&\le\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right|+\left|\frac12 f''(\xi)\right|h \\ &\le \frac{1}{h}\left(|f(x+h)|+|f(x)|\right)+\frac12 h|f''(\xi)|\\ &\le 2(A/h)+\frac{1}{2}Ch \end {Alinee el} $$