Necesito calcular el límite:
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left (\frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}+\frac{1}{\sqrt{2n+2}}-\dotsb+\frac{1}{\sqrt{4n}}\right) $$
Cualquier sugerencias de cómo hacerlo sería apreciada.
Respuestas
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La cantidad dentro del límite entre $\frac{1}{\sqrt{2n}}$ y $\frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$, por lo tanto, el límite es cero por exprimir. Para notarlo, es suficiente para términos consecutivos de la pareja: que $A_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
Entonces $A_n>0$ y: $$ \frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{4n}}=\frac{1}{\sqrt{2n}}-\sum_{k=n}^{2n-1}A_{2k+1}<\frac{1}{\sqrt{2n}} $ $ como: $$ \frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{4n}}=A_{2n}+\sum_{k=n+1}^{2n-1}A_{2k}+\frac{1}{\sqrt{4n}}>\frac{1}{\sqrt{2n}}-\frac{1}{\sqrt{2n+1}}.$ $
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Parece el límite que piden:
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{m=2n}^{4n} \frac{(-1)^m}{\sqrt{m}}.$$
Tenga en cuenta que la serie $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^m}{\sqrt{m}}$$ converges by the alternating series test. A series converges if for every $\epsilon > 0 $ there exists an integer $N $ for which given any $ n_2 > n_1 > N$ tenemos
$$\left| \sum_{m=n_1}^{n_2} \frac{(-1)^m}{\sqrt{m}} \right| < \epsilon.$$
Podemos elegir $n_1 = 2n$ y $n_2=4n$. Así para cualquier $\epsilon>0$, $$\left| \sum_{m=2n}^{4n} \frac{(-1)^m}{\sqrt{m}} \right| < \epsilon$$ for sufficiently large $n$. Since $\epsilon$ puede ser tan pequeño como queramos, el límite debe ser cero.
