¿Hipótesis de Riemann débil?

Question

La Hipótesis de Riemann dice que todos los no-trivial de los ceros de la de Riemann zeta función de mentira en $Re(z)=\frac{1}{2}$ línea en lugar de esta región $Re(z) \in (0,1)$.

Parece una pregunta natural a ser que en vez de probar que $Re(z)=\frac{1}{2}$ uno podría tratar de demostrar que $Re(z) \in (\epsilon,1-\epsilon)$.

Estoy familiarizado con un cero región libre que se utiliza en el análisis del Primer número teorema, pero que es demasiado débil para concluir que a algunos les gusta esto.

Mi pregunta es esta pregunta tan duro como la demostración de Hipótesis de Riemann ?? Hay algunos desarrollos hacia el probar esto ?? O un resultado que probar esto implicaría probar Hipótesis de Riemann?

Answer 1

Aún no sabemos si $\zeta(s)$ tiene una secuencia de ceros a la convergencia de a $Re(s)=1$.

Hay un producto de Euler (pero no funcional de la ecuación) que tiene una secuencia de ceros a la convergencia de a $Re(s) = 1$.

Vamos

$$h(x) = x-\sum_{k=K}^\infty \frac{x^{1-1/k+ik^2}}{1-1/k+ik^2}$$ y de forma iterativa para cada prime $q$ : $$a_{q} = h(q) -\sum_{p < q} a_{p} $$ Por último vamos a $a_n = \prod_{p | n} a_p$ y el conjunto de $$F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} = \prod_p (1+\sum_{k \ge 1} a_{p^k}p^{-sk} )= \prod_p \left( 1+ \frac{a_p}{p^s-1}\right)$$ De modo que $$\log F(s) = \sum_p \log (1+ \frac{a_p}{p^s-1}), \qquad \frac{F'(s)}{F(s)} = \sum_p \frac{\frac{a_pp^{s}\ln(p)}{(p^s-1)^2)} }{1+ \frac{a_p}{p^s-1}} = \sum_p a_p p^{-s} + \sum_p \sum_{k \ge 2} b_{p^k}p^{-sk}$$

Por el Abel suma fórmula $$\frac{F'(s)}{F(s)} = s \int_1^\infty g(x) x^{-s-1}dx, \qquad g(x) = \sum_{p < x} a_p+\sum_{p^k < x} b_{p^k}$$ Y el primer brecha muestra que $$g(x) = \sum_{p < x} a_p + \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon}) = h(x) + \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon})$$ es decir, $$\frac{F'(s)}{F(s)}+\frac{1}{s-1}- \sum_{k=K}^\infty \frac{1}{s-1+1/k-ik^2} = s\int_1^\infty \left(g(x)-h(x)\right) x^{-s-1}dx$$ es analítica para $Re(s) > 1/2$, y, por tanto, $F(s)$ es meromorphic allí, con un polo en $s=1$ y sus ceros en $1-\frac{1}{k}+ik$