Ecuación de Euler-Lagrange traicionero

Question

Si tengo una ecuación de Euler-Lagrange: $(y')^2 = 2 (1-\cos(y))$ $y$ ¿Dónde está una función de $x$ sometidos a condiciones de límite $y(x) \to 0$ $x \to -\infty$ y $y(x) \to 2\pi$ $x \to +\infty$, ¿cómo podría encontrar todas sus soluciones?

Parece que no puedo integrar directamente la ecuación y sub en las condiciones... Por favor ayuda!

Gracias.

Answer 1

Complementaria a las soluciones de joriki y Sivaram se podría diferenciar la ecuación de una vez para obtener

$$2 y''(x) y'(x) = 2 y'(x) \sin y(x)$$

lo que implica $y''(x) = \sin y(x)$. Después de la sustitución de $y(x)=\pi - \theta(x)$ esto se traduce en $\theta''(x) = -\sin \theta(x)$ que es la ecuación del péndulo. Su condición de frontera que requieren $\lim\limits_{x\to-\infty} \theta(x) = \pi$$\lim\limits_{x\to+\infty} \theta(x) = -\pi$. Por lo tanto, la solución no es periódica.

Esta trayectoria es descrito por el Gudermannian función.

Answer 2

% De uso $1-\cos y=1-(\cos^2\frac y2-\sin^2\frac y2)=2\sin^2\frac y2$.