Sobre $f(x)= f(\frac{1}{x})$

Question

Considere la ecuación

$$f(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)$$

Donde queremos $f$ a ser real meromorphic.

Son todas las soluciones $f$ de la forma

$$f(x) = g\left(\frac{x}{1+x^2}\right)$$

Donde $g$ es una función continua ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $h\colon \Bbb R\setminus\{0\}\to \Bbb R\setminus (-2,2)$, $x\mapsto x+\frac1x$ es continua y casi inyectiva, en el sentido de que $h(x)=h(y)$ implica $y=x$ o $y=\frac1y$. También, $h$ nunca $0$. Como consecuencia, $f$ puede ser escrito como $f(x)=g(\frac 1{h(x)})$ algunos $g\colon [-\frac12,\frac12]\setminus\{0\}$.

La función de $g$ es también continua. Esto es debido a que si nos restringimos $h$ $\Bbb R\setminus(-1,1)$se convierte en bijective con inversa continua.

Sin embargo, tenga en cuenta que $g$ sólo necesita ser continua como función definida en $[-\frac12,\frac12]\setminus\{0\}$. En concreto, no está garantizado que una extensión continua a $[-\frac12,\frac12]$ existe. Este sólo existe si $\lim_{x\to 0}g(x)$ existe, es decir, si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)$. Si usted demanda que $f(x)=f(\frac1x)$ debe también llevar a cabo para $x=0$ en el sentido de que $\lim_{|x|\to\infty} f(x)=f(0)$, entonces este es el caso.