Puede alguien aclarar que para mí, el lado de la nota encontrada en Axler del Álgebra Lineal se Hace la Derecha, que es: Directo de la suma de los subespacios son análogos a la desunión de la unión de los subconjuntos.
No estoy seguro de qué es exactamente un discontinuo de la unión de los subconjuntos (después de haber comprobado en línea definiciones) y, por tanto, su relación directa sumas.
Gracias.
Un conjunto $S$ ${disjoint}$ suma de conjuntos de $A$ $B$ si se cumple lo siguiente.
Ahora vamos a $V$ ser un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$. Queremos decir que $V$ es el 'desunido' suma de dos subespacios $U, W$$V$. No podemos decir que $U$ $W$ distinto, como conjuntos, ya que cualquier subespacio de $V$ contiene $0$. Lo que podemos hacer es minimizar su intersección: aparte de la 0-vector, $U$ $W$ no debería tener ningún comunes de los miembros. Por otra parte, para obtener todos los de $V$, tenemos que exigir que todos los vectores $v$ $V$ puede de alguna manera ser construido a partir de elementos de $U$$W$. Esto da lugar a la siguiente definición de la suma directa de:
Es evidente que esta definición de la suma directa en un espacio vectorial es casi el mismo que el de la desunión suma de conjuntos. La única cosa que permanece en la necesidad de la explicación es la suma de subespacios $U + W$. Pero eso es simple:
$$U + W = \{u + w\ |\ u \in U, w \in W\}$$
En otras palabras, estamos elevación del vector suma de los vectores a los conjuntos de vectores.
Como un ejemplo, el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$, es decir, el plano euclidiano, es la suma directa de el eje x y el eje-y. En otras palabras $\mathbb{R}^2$ es la suma directa de los subespacios $\{ (x, 0)\ |\ x \in \mathbb{R}\}$$\{ (0, y)\ |\ y \in \mathbb{R}\}$.
Resulta que la similitud formal entre estas dos construcciones no es accidental. Ambos son instancias de una forma más general de construcción de la llamada co-producto o suma categórica , el cual es definido por categorías.
La idea es que para espacios vectoriales $W$ y $V$, $W\oplus V$ une las dos espacios vectoriales sin mezclar su contenido.
$W\oplus V$ contiene una copia de $W$ ($W\oplus \{0\}$) y una copia de $V$ ($\{0\}\oplus V$) y la intersección de las dos copias es tan pequeño como sea posible ($\{0\}\oplus \{0\}$).
La intersección de dos subespacios no puede obtener ninguna más pequeños, así que esta es la cosa más cercana a su intersección se vacía como podemos conseguir.
Por eso, $W$ $V$ conviven en $W\oplus V$, pero que "no se cruzan" en el sentido de que su intersección es trivial. Esa es la semejanza de la unión de conjuntos disjuntos.
Esta respuesta es poco probable que sea útil para el OP, pero contiene cosas que probablemente deben decirse en el caso de esta pregunta se hace referencia más adelante por los usuarios con un fondo diferente.
La inconexión de la unión de conjuntos y la suma directa de espacios vectoriales son dos ejemplos de un subproducto en una categoría. Dados dos objetos de $X_1$ $X_2$ en categoría $\mathcal{C}$, el subproducto $X=X_1\coprod X_2$ es un objeto con mapas de $i_j\colon X_j\to X$ tal que para cualquier objeto $Y$ $\mathcal{C}$ y los mapas $f_j\colon X_j\to Y$, hay un único mapa $f\colon X\to Y$ tal que $f_j=f\circ i_j$ (a componer de derecha a izquierda).
En la categoría de conjuntos, los mapas de $i_j$ son las inclusiones de $X_j$ a $X$, y en la categoría de espacios vectoriales, mapa de $i_1$ (resp. $i_2$) es la incorporación de la $X_1$ (resp. $X_2$) a $X$ $X_1\times\{0\}$ (resp. $\{0\}\times X_2$).
Para finito de subconjuntos de un conjunto $U$, uno tiene $$ \#(A_1\copa A_2\cup\cdots\copa A_n)\leq\#A_1+\#A_2+\cdots+\#A_n, $$ con igualdad si y sólo si los conjuntos de $A_1,A_2,\ldots,A_n$ son todos distintos,que es una condición que uno puede hacerse la prueba teniendo en cuenta el $A_i$ pares (es decir, uno puede probar que $\#(A_i\cap A_j)=0$ siempre $i\neq j$). Para finito de dimensiones de los subespacios de algunas espacio vectorial $V$ $$ \dim(V_1+V_2+\cdots+V_n)\leq\dim V_1+\dim V_2+\cdots+\dim V_n, $$ con igualdad si y sólo si los subespacios $V_1,V_2,\ldots,V_n$ forma de un directo de la suma de la $V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_n$ (esto es sólo la notación para indicar la suma es directa); esta es una condición en la que uno no puede probar considerando el $V_i$ pares (es decir, no es suficiente para probar que el $\dim(V_i\cap V_j)=0$ siempre $i\neq j$).
De manera directa de las sumas tener algo similar a la desunión de los sindicatos, pero no todo.
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