Un grupo $G$ de orden $22$ contiene elementos $x$ y $y$ , donde $x \neq 1$ y $y$ no es un poder de $x$ . Demuestre que el subgrupo generado por estos dos elementos es el grupo entero.
No puedo usar los teoremas de Sylow, sólo los de Lagrange.
Intento: Puedo ver que el orden de $x$ debe ser 2 u 11 (si fuera 22 entonces $y$ sería una potencia de $x$ como $G=<x>$ ). --Yo siento que el orden de $y$ tampoco puede tener 22 años, pero no puede probarlo Si el orden de $x$ es 11 Y el orden de $y$ es 11, entonces $|G|=21$ porque $<x>\cap<y>=\varnothing$ una contradicción. Aquí es donde me pierdo, porque no veo por qué el orden de $x$ y $y$ no puede ser a la vez $2$ . Sin embargo, después de este caso, creo que he terminado porque las órdenes de $x$ y $y$ tienen que ser 11 y 2 o 2 y 11 (digamos el orden de $x$ es 11). Entonces el conjunto $$ \{ e, x, x^2, \dotsc, x^{10}, y, yx, \dotsc, yx^{10} \} = G. $$
