Una es similar a $A^k$, entonces cada autovalor de a $A$ es una raíz de la unidad

Question

Deje $A \in \mathbb{C}(n,n)$ $k \geq 2$ ser un entero tal que $$A \sim A^k$$. Show that if $Un$ is non-singular then each eigenvalue of $$ es una raíz de la unidad.

Intento: Desde $A \sim A^k$, $$PA = A^kP$$ where $P$ is an invertible matrix. Since $A$ is invertible, $0$ cannot be an eigenvalue of $A$. Suppose $$Av = \lambda v \quad v \neq 0$$ then $$PAv = \lambda Pv$$ $$\therefore A^k(Pv) = \lambda (Pv) $$ but this implies that $Pv$ is an eigenvector of $A$. But the eigenvalues of $A^k$ are $\lambda^k$ $$\therefore \lambda^k=\lambda$$ que da la conclusión necesaria.

Mi pregunta es: Es la lógica correcta? Si es así, me Estoy perdiendo los detalles? Si no, entonces ¿cómo podría yo acerca de esto?

Gracias!

Answer 1

Estás en lo correcto al señalar que similar matrices tienen el mismo conjunto de valores propios. Sin embargo, dado esto, usted puede llegar a la conclusión de que $\lambda = \lambda^k$. Sin embargo, se puede concluir que $\lambda^k$ es un autovalor si $\lambda$ es.

Así que supongamos que hay $n$ total autovalores (debe ser un número finito). Tome el conjunto $\{ \lambda , \lambda^k , \lambda^{k^2} , \lambda^{k^3}, \dots, \lambda^{k^n} \}$. Esto ha $n+1$ elementos, y cada elemento es un valor propio, así que por el pidgeonhole principio, debemos repetir un elemento dos veces.

Por lo $\lambda^{k^m} = \lambda^{k^i}$ algunos $1 \le i < m \le n$.