Está más familiarizado con los operadores lineales que con la geometría, me gustaría ver a $G_K(r,n)$, el Grassmannian de todos los $r$ dimensiones de los subespacios en $K^{r+n}$ ($K=\mathbb{R}, \mathbb{C}$), como el conjunto de todo el rango de $k$ proyecciones (el uno mismo-adjoint idempotents) en $M_n(K)$. Y yo también estoy interesado en el infinito-dimensional Grassmannians sentado en $B(H)$, el álgebra de acotado a los operadores lineales en un separables de dimensiones infinitas $K$ espacio de Hilbert. En este último, las proyecciones que se divide en los componentes conectados de acuerdo a su rango y su nulidad. Estos son lisas, colectores, pero se basa en un infinito-dimensional (por $r\neq 0$$n\neq 0$) espacio de Banach. Ellos son el infinito-dimensional análogos de la anterior. Me estafaron con la habitual notaciones para incluir la última: por ejemplo, $G_\mathbb{C}(3,\infty)$ corresponde al rango $3$ proyecciones en $B(H)$.
Pensar en algunas lineal preguntas, me terminó siendo interesado en la siguiente: ¿existe un lugar de fuga de la sección de la tangente paquete de $G_K(r,n)$? Los dos casos me siento muy cómodo con se $G_\mathbb{R}(1,1)$ (sí, ese $S^1$ y la tangente paquete es trivial), y $G_\mathbb{C}(1,1)$ (no, por el peludo teorema de la bola ya que es $S^2$).
Yo vagamente saber que bajo ciertas condiciones, la tangente paquete de un colector admite un lugar de fuga de la sección si y sólo si su clase de Euler (o debería decir el número?) es cero. Y que bajo ciertas condiciones, esto coincide con la característica de Euler de la multiforme.
Preguntas:
1 - ¿Qué es una declaración precisa y un conjunto de condiciones para el último, espero que la aplicación de la (posiblemente infinito-dimensional) Grassmannians?
2 - Si se aplica, ¿cuáles son los relevantes Euler invariantes (carácter/clase/número) por $G_K(r,n)$? Después de mucho googlear, creo que encontré $\binom{r+n}{r}$ en el caso complejo (sin estar seguro porque estoy teniendo un tiempo difícil la comprensión del lenguaje geométrico). ¿Es esto cierto? ¿Qué significa el número refieres exactamente? Lo que sobre el caso real? ¿Y el infinito-dimensional caso?
3 - en última instancia, lo que más me interesa saber cuando puedo decir que cualquier sección de la tangente paquete de $G_K(r,n)$ debe desaparecer, y cómo justificar adecuadamente. Podrían aclarar esto para mí?
4 - creo que es tiempo para mí para entender estas cosas. ¿Sabes que un amistoso de referencia para alguien que tiene un montón de problemas con la geometría?
Gracias.
Edit: olvide el infinito-dimensional analógica. En $B(H)$, el grupo unitario es mucho menos retorcido que en $M_n$. Un famoso teorema de Kuiper muestra que es contráctiles. Si no me equivoco, esto implica que el Grassmannians de $B(H)$ tiene un trivial tangente paquete.
