¿Es todo grupo débil finito un grupo

Question

Definición: Dejemos que $W$ sea un conjunto y $\circ:W\times W\rightarrow W$ sea una función. Decimos que $(W,\circ)$ es un grupo débil si existe un único $e\in W$ tal que $\forall x\in W[x\circ e=e\circ x=x]$ y para cada $x\in W$ existe un único elemento $x^{-1}$ en $W$ tal que $x\circ x^{-1}=x^{-1}\circ x=e$ . Por último, para cada $x,y\in W$ tenemos: $$x\circ(x^{-1}\circ y)=y\,\,\,\,,(y\circ x^{-1})\circ x=y$$

Pregunta: ¿Existe un grupo débil finito que no sea un grupo?

He intentado jugar con las tablas de Cayley durante algún tiempo para encontrar un grupo débil finito que no sea un grupo, pero no he encontrado ninguno.

Gracias

Answer 1

Un ejemplo de grupo débil infinito que no es un grupo es el álgebra de octonions ( http://en.wikipedia.org/wiki/Octonion ).

Análogo al grupo de cuaterniones finitos $Q_8$ el conjunto que contiene los generadores positivos y negativos de los octoniones es un grupo débil finito pero no un grupo.

Answer 2

Todo grupo débil es un grupo. Ya tenemos una identidad y unos inversos, así que tenemos que demostrar que $\circ$ es asociativo. Para todos los $a,b,c\in W$ tenemos $b^{-1}\circ (b\circ c)=c$ para que $$(a\circ b)\circ c= (a\circ b) \circ b^{-1} \circ (b\circ c) = a \circ (b\circ c).$$

Edición: Me acabo de dar cuenta de un error. Debería ser $$(a\circ b)\circ c= (a\circ b) \circ (b^{-1} \circ (b\circ c) )...$$ Parece que esto ya no funciona.