¿La doble negación se distribuye sobre la disyunción de manera intuitiva?

Question

¿La siguiente equivalencia

$$ \lnot \lnot (A \lor B) \leftrightarrow ( \lnot \lnot A \lor \lnot \lnot B)$$

en la lógica intuicionista propositiva? ¿Y en la lógica proposicional mínima? (En la lógica clásica proposicional esto es obvio ya que $A \leftrightarrow \lnot\lnot A$ es clásicamente comprobable.)

En realidad tengo una prueba de que $( \lnot \lnot A \lor \lnot \lnot B) \to \lnot \lnot (A \lor B)$ se mantiene en la lógica mínima propositiva, así que estoy interesado en la implicación inversa:

$$ \lnot \lnot (A \lor B) \to ( \lnot \lnot A \lor \lnot \lnot B)$$

Si es mínimamente o/y intuitivamente demostrable, me gustaría una (referencia a a) prueba directa en el estilo de deducción natural.

Answer 1

$ \lnot \lnot (A \lor B) \to ( \lnot \lnot A \lor \lnot \lnot B)$ no es intuitivamente aceptable. Una forma de verlo es considerando el álgebra de Heyting cuyos elementos son los subconjuntos abiertos del intervalo de unidades $[0, 1] \subseteq \Bbb {R}$ con $A \lor B = A \cup B$ , $A \to B = \mathsf {int}(A^c \cup B)$ y $ \bot = \emptyset $ (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Heyting_algebra ). En este álgebra Heyting, $ \lnot\lnot A$ es el interior del cierre de $A$ y $A \to B$ es $ \top $ iff $A \subseteq B$ . Por lo tanto, si $A = [0, 1/2)$ y $B = (1/2, 1]$ , $ \lnot \lnot (A \lor B) = [0, 1]$ mientras que $ \lnot \lnot A \lor \lnot \lnot B = [0, 1] \mathop { \backslash } \{1/2\}$ y $ \lnot \lnot (A \lor B) \to ( \lnot \lnot A \lor \lnot \lnot B)$ no es $ \top $ .