¿Por qué es una sección de una gavilla $F$ más de conjunto cerrado $S \subset X$ se define como límite inductivo $$ \varinjlim_{S\subset U} F(U)\; ?$$ Desde mi punto de vista, debemos definir como una función que a cada punto de $x \in S$ mapas a $F_x$, de tal manera que $S$ puede ser cubierto por la apertura de los conjuntos de $U_i$, y hay secciones $s_i \in F(U_i)$, que coinciden en los tallos. Es equivalente? Tal vez, lo suficientemente buenas como espacios topológicos?
Respuestas
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Su punto de vista para la definición de $\Gamma (S, F)$ y por lo tanto, implícitamente para $F\mid S $ es la correcta.
La fórmula $\Gamma (S, F)= \varinjlim_{S\subset U} F(U)$ no debe ser tomado como la definición, aunque es cierto en algunos casos, por ejemplo si $X$ es paracompact: cf. Corollaire 1 a Théorème 3.3.1, página 151 de Godement del Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux.
Davem M
Puntos
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(Soy muy nuevo en esto, así que por favor no aceptar nada de lo escrito aquí sin pensar acerca de ti mismo! Estos son sólo mis pensamientos en esta identidad y cómo podría mostrar.) Usted puede pensar en una gavilla como un paquete de gérmenes $\Lambda F$ sentadas $X$, con una proyección de mapa de $p:\Lambda F \rightarrow X$ envío de $p(germ_x f) = x$. Este paquete es topologized de manera que todas las secciones en $U$ de la forma $s_f(x) = germ_x f$ $f \in F(U)$ son continuas. (Las imágenes de estos mapas son realmente tomados como un subbasis para la topología, si mal no recuerdo.) Secciones de $F$ $S$ corresponde continua de los ascensores de la inclusión $i:S \hookrightarrow X$ a través de $p$. Creo que cada uno levante corresponde exactamente a una de las funciones que describen, por lo que simplemente puede pensar de ascensores.
La pregunta ahora es: ¿se puede extender ascensores para un conjunto abierto acerca de $S$? Quizás aquí es donde la paracompactness condición entra. Dado un ascensor $l$ $S$ en el paquete, podemos obtener mucha información acerca de él en la forma de abrir los conjuntos de puntos en $S$ que $l$ se parece a un mapa de la forma $l(x) = germ_x f$. Tal vez podemos controlar este uso de paracompactness y extender $l$ a un conjunto abierto acerca de $S$, dando la deseada igualdad.
