Encontrar el 3er grado del polinomio tener la trigonometría como una raíz

Question

Estoy luchando para resolver el problema que pedir a encontrar el 3er grado del polinomio, teniendo todos los coeficientes como los números enteros, que la satisfacción de $f(\cos \frac{\pi}{7})=0$.

Sé que debo utilizar la ecuación de euler, pero no sé cómo aplicarlo a este problema.

En detalle, sé que debo usar el hecho de que $e^{(\frac{\pi i}{7})}$ es la raíz de $\frac{(x^7+1)}{x+1}$ = $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 = 0 $, pero es realmente difícil para mí encontrar cómo utilizar ese hecho para resolver el problema.

Gracias.

Answer 1

MÁS DETALLES
Quieres una relación que involucran sólo a $\;c:=\cos\left(\frac{\pi}7\right)\,$ la parte real de la $\,x=e^{i\pi/7}\,$ tal forma que : $$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 = 0$$ Dividir por $x^3$ para obtener :

\begin{align} \tag{1}&\bigl(x^3+x^{-3}\bigr)-\bigl(x^2+x^{-2}\bigr)+\bigl(x^1+x^{-1}\bigr)=1\\ \end{align}

Pero

\begin{align} \tag{2}(2\;c)=\left(x+\frac 1x\right)^1&=\bigl(x^1+x^{-1}\bigr)\\ \tag{3}(2\;c)^2=\left(x+\frac 1x\right)^2&=\bigl(x^2+x^{-2}\bigr)+2\\ \tag{4}(2\;c)^3=\left(x+\frac 1x\right)^3&=\bigl(x^3+x^{-3}\bigr)+3\,\bigl(x^1+x^{-1}\bigr)\\ \end{align} así que todo lo que se puede escribir en función de $\,c\,$ sólo :

• de $(2)$ $(4)$ deducir $\,\bigl(x^3+x^{-3}\bigr)=(2\;c)^3-3\,(2\;c)\,$,
• de $(3)$ deducir $\,\bigl(x^2+x^{-2}\bigr)$
• de $(2)\ \cdots$

La conclusión !