Aprovecho esta Lagrange :
$$\mathcal{L}=\mathcal{L}_0+\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$$
En este tema Hace cuatro divergencia plazo adicional en una de Lagrange de la densidad de la materia a las ecuaciones de campo? se dice que cualquier 4-divergencia término añadido a un Lagrangiano no modifica la ecuación de movimiento.
En mi ejemplo yo agregue $\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$ $\mathcal{L}_0$(no es un 4-divergencia, pero la mecánica es exactamente la misma). Y yo observación que se puede modificar la ecuación de movimiento si $f$ contiene derivados de $\phi$. Por lo que no entiende.
Escribo la variación infinitesimal de la acción a $\mathcal{L}$ :
$$ \delta S = \int d^4x ~ \delta \mathcal{L} $$
$$ \delta S = \int d^4x ~ [ \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi) + \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)] ~ ]$$
Como de costumbre, yo sé que : $\delta(\partial_\mu \phi)=\partial_\mu \delta(\phi)$. Por lo tanto, puedo integrar por partes :
$$ \delta S = \int d^4x ~ [ \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} )\delta \phi + \int d^4x ~ \partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi] + \int d^4x ~ \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]$$
Tenemos :
$$ \int d^4x ~ \partial_\mu[\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi] = \int d^3x ~ [\frac{\partial \mathcal{L}_0}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta \phi]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}=0$$
De hecho, $\delta \phi=0$ sobre los límites por hipótesis ($x_i^{+}=+\infty$ para las coordenadas espaciales y $t_f$ por tiempo).
También tenemos :
$$ \int d^4x ~ \partial_\alpha [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]= \int d^3x ~ [\frac{\partial f}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}=\int d^3x ~ [\frac{\partial f}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi)]_{x_i^{-}}^{x_i^{+}}$$
** Y aquí está mi problema****.
El hecho de $\delta \phi(x_i^{+})=\delta \phi(x_i^{-})=0$ no implica que $\partial_\mu \delta \phi(x_i^{+})=\partial_\mu \delta \phi(x_i^{-})=0$.
Para ser más precisos, podría ser verdad si $x_i^{+}=-x_i^{-}=+\infty$(*) pero si me tomo el tiempo de coordenadas, he a $x_i^{+}=t_f$. Así es, al menos, no es cierto para $\mu=t$.
Por lo tanto el plazo adicional $\partial_\alpha f(\phi, \partial_\mu \phi)$ modifica la extremality de la acción. Por lo tanto no voy a tener la misma ecuación de movimiento.
Pero en este tema : Hace cuatro divergencia plazo adicional en una de Lagrange de la densidad de la materia a las ecuaciones de campo? el libro de la autora dice que cualquiera de los cuatro divergencia no afecta a la ecuación de movimientos.
Pero hemos visto aquí (si yo no se equivocó, que no es en absoluto seguro) que si el plazo adicional es de un total de derivados que contiene el tiempo de los derivados de la sobre el terreno, se pueden cambiar las ecuaciones de movimiento.
Donde estoy equivocado ?
(*) : es cierto porque pedimos $\phi$ hasta llegar a cero en el infinito, así que sólo nos permiten variaciones de $\phi$ que se desvanecen en el infinito (cosa que se nos acabaría con $\phi+\delta \phi$ no integrable). Y como $(x,y,z) \mapsto \delta \phi(x,y,z,t)$ $0$ en el infinito, y todos sus derivados también.
