Es $A^T A$ similar a $AA^T$ ?

Question

Vi en una prueba en alguna parte que una matriz cuadrada $AA^T$ es similar a $A^T A$ Así que lo he pensado y no sé por qué (o si) es cierto.

Intenté utilizar el hecho de que toda matriz es similar a su transposición y tal vez transponer toda la expresión $AA^T$ pero lo que obtengo es $(AA^T)^T=A^{T^T} A^T=AA^T$ lo cual es obvio porque $AA^T$ es simétrica.

He intentado ejecutar algunos ejemplos como $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \qquad \qquad \qquad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} $$ Y entiendo que $AA^T$ y $A^TA$ tienen el mismo polinomio característico por lo que obviamente tienen la misma traza, valores propios y determinante.

¿Pero es cierto para el caso general?

Answer 1

Si $A$ es una matriz real cuadrada y que $A=U D V^T$ sea la descomposición SVD.

$$A^TA=VD^2V^T$$

$$AA^T=UD^2U^T$$

Observe que $$(UV^T)A^TA(VU^T)=AA^T$$

Answer 2

En general, la afirmación es falsa. Por ejemplo, considere la matriz compleja $A=\pmatrix{1&i\\ 0&0}$ para lo cual $AA^T=0\ne A^TA$ . Sin embargo, la afirmación es cierta para matrices cuadradas reales. En la otra respuesta se dio una prueba, pero esa prueba puede hacerse más sencilla si se permite utilizar descomposición polar : dejar $A=PU$ , donde $P$ es simétrica semidefinida positiva y $U$ es ortogonal real (por lo que $U^T=U^{-1}$ ). Entonces $A^TA=U^TP^2U$ es similar a $AA^T=P^2$ .