"Esta propiedad es local" : las propiedades de los morfismos de $S$-planes de

Question

Estoy aprendiendo esquemas de teoría en la escuela y lo que tengo por ahora sólo conferencias notas que tomé durante el curso. El profesor es muy a menudo el uso de las siguientes expresiones, sin tener definido : si $S$ es un esquema y si $f : X \rightarrow Y$ es una de morfismos de $S$-esquemas de él a menudo se dice que una propiedad P de $f$ es

(1) local en $X$

(2) locales en $Y$

(3) local en $X$ $Y$

(4) local en $X, Y$ $S$

y tengo varias pregunta sobre esto, y en relación con esto.

Fui a la biblioteca a buscar en todos los Grothendieck del EGA y encontraron el mismo uso frecuente de la expresión de la pregunta est configuración regional del sur en el mismo cuatro de los casos - al menos, tal vez hay otras de estas cuatro ? Pero he encontrado en ellos ninguna definición del significado de la pregunta est regional sur, lo que significa que la pregunta es local en en inglés.

Supongo que (1) significa que $f$ tiene la propiedad P si y sólo si para cada abierto de la cubierta $(U_i)_{i\in I}$$X$, todas las restricciones a $f_{|U_i} : U_i \rightarrow Y$ tiene la propiedad P, y que (2) significa que $f$ tiene la propiedad P si y sólo si para cada abierto de la cubierta $(V_i)_{i\in I}$$Y$, todos los corestrictions $f^{-1} (V_i) \rightarrow V_i$ tienen la propiedad P. Por (3) obviamente es equivalente a la verificación (1) y (2), pero no puedo dar una formulación más sintética.

(3) significa que $f$ tiene la propiedad P si y sólo si para cada abierto de la cubierta $(U_i)_{i\in I}$$X$, y para cada cubierta abierta $(V_j)_{j\in J}$ $Y$ todos los morfismos $U_i \cap f^{-1} (V_j) \rightarrow V_j$ tienen la propiedad P ? Para (4) es suficiente para definir lo que significa que P es local en S. ¿Esto significa que $f$ tiene la propiedad P si y sólo si para cada abierto de la cubierta $(W_i)_{i\in I}$$S$, cada morfismos $p^{-1}(W_i) \cap f^{-1}(q^{-1} (W_i)) \rightarrow q^{-1} (W_i)$ tiene la propiedad P ? O es que hay algo más inteligente de lo que esta. La combinación de este con (3) es equivalente a (4), pero aquí, de nuevo, hay más sintética formulación para esto ?

En (1), (2), (3), (4) he utilizado "local morfismos" (restricciones en (1), corestrictions en (2) , etc). Es posible expresar estas morfismos gracias a los productos de fibra, y si es así, ¿cómo ?

En (1), (2), (3), (4) he utilizado la palabra todas las portadas , pero a veces en el curso es suficiente para tener el hecho de que sólo una tapa para tener para todos. ¿Cómo funciona esto ? (Me llame Q esta pregunta.)

A veces no se trata solamente de abrir las cubiertas que se utilizan, pero abierto afín cubre. Para$i\in\{1,2,3,4\}$, (i) es equivalente a la afirmación (i) con "abrir" se sustituye por "abrir afín", o incluso "afín" ?

Es responder a la pregunta Q más fácil con "abrir" se sustituye por "abrir afín", o sólo "afín" ? De esta nota, ¿qué significa la siguiente frase significa : la propiedad P de los morfismos de $A$-álgebras $\varphi : B' \rightarrow B$ es local en $\textrm{Spec}(A)$ (resp. en $\textrm{Spec}(B')$, resp. en $\textrm{Spec}(B)$, resp. en "combinaciones de las anteriores") ?

Tengo una última pregunta : todas las preguntas anteriores son locales para la topología de los sistemas involucrados, que es una topología en el "clásico" de sentido. Esto es traducible a Grothendieck topologías ? Si es así, ¿cómo ? Y entonces, intuitivamente, en el caso de la Zariski sitio, es el mismo ?

Yo sé que esto fue un montón de preguntas, pero todas están íntimamente relacionados con este "local" cosas, así que he preferido preguntar a todos ellos en una sola toma.

Answer 1

Ok, esto va a ser largo.

Hay una difusa pregunta que subyace a todas sus preguntas : para una determinada topología (el "clásico" como usted dice, pero también por Grothendieck, como étale, suave, fppf, fpqc, synthomic, Niesnievitch etc) ¿qué son las propiedades razonables que uno puede esperar de una clase/tipo de morfismos de esquemas ?

Para el clásico de la topología, esencialmente todas las clases de morfismos tienen las siguientes propiedades : cerrado bajo la sección de composición, cambio de base y que son locales en la base, o el destino - o $Y$ con su (2)'s la notación. (1) uno dice local en el origen.

El segundo significa que asegura que una de morfismos un morfismos $f : X \rightarrow Y$ es en la clase, usted sólo tiene que comprobar que corestrictions en una cubierta abierta de a $Y$ están en la clase. Usted escribió todas las cubre, pero por lo general uno es suficiente, ya que prácticamente las propiedades de la clase son a menudo lo suficientemente amable como para implicar que si usted tiene este para una cubierta que tiene para todos. Mismo comentario (1), (3) y (4), con todos los sustituido por uno. Comentario : la construcción de producto $X\times_S Y$ en la categoría de los esquemas de más de un esquema fijo $S$ es local en $X$, $Y$, $S$. Ver EGA I 3. 3.2 creo. No habrá una definición de (4), pero usted se sentirá lo que significa.

Por cierto, las propiedades de la clase de esquema son a menudo lo suficientemente bueno para asegurarse de que puede reemplazar en lo que escribí anteriormente "abra las cubiertas" por "abrir afín cubre". Este es essentialy dued el hecho de que razonable clases de morfismos son definidas por propiedades P de morfismos sí mismos definidos a través de las propiedades P de esquemas definidos de la siguiente manera : los morfismos $f : X\rightarrow Y$ tiene la propiedad P si (y sólo si, pero es una definición) para cada abierto afín $V\in Y$ el esquema de $f^{-1} (U)$ como la propiedad P.

En nota de afín cubre y la comprobación de algo en uno o todos , una pregunta podría ser la siguiente : si marca alguna de las propiedades de morfismos a través de una afín a cubrir y si es en otro afín a cubrir, ¿qué podemos decir ? Es decir, ¿qué significa lo que yo hice en mi portada implica en el tuyo, etc... Para este asunto, hay dos hechos fundamentales :

(1) si usted toma $U,V$ abierto afín subschemes de un esquema de $X$, $U\cap V$ es la unión de subconjuntos abiertos de $U$ $V$ simultanously (obviamente) que se distinguen en $U$$V$. (Recuerde que un abrir $V \subseteq \textrm{Spec}(A)$ se distingue si $V = D(f)$ algunos $f\in A$.

(2) sea P una propiedad que afín a abrir subconjunto de un esquema de $X$ puede tener tal que :

(a) Si un abrir afín subconjunto $U \simeq \textrm{Spec}(A)$ $X$ tiene la propiedad P, entonces para cualquier $f\in A$ el distinguido afín subconjunto $V \simeq \textrm{Spec}(A_f)$ $X$ también tiene la propiedad P

(b) Si $f_1,\ldots,f_d \in A$ generar $A$ y si para cada una de las $i\in\{1,\ldots,d\}$ el abierto afín subconjunto $V_i \simeq \textrm{Spec}(A_{f_i})$ $X$ tiene la propiedad P, entonces el abierto afín subconjunto $U \simeq \textrm{Spec}(A)$ $X$ tiene la propiedad P

Entonces si $X = \cup_{i\in I} U_i$ donde cada una de las afín subconjunto $U_i \simeq \textrm{Spec}(A_i)$ $X$ tiene la propiedad (P), luego todo abierto afín subconjunto de $X$ tiene la propiedad.

Ejemplo de propiedades locales en el destino : cuasi-compacto, finito, de tipo abierto de inmersión, cerrado de inmersión, inmersión, finito, cuasi-finito, etc

Ejemplo de propiedades locales en la base y en el destino : localmente finitos tipo, localmente finito de presentación, tv, étale, unramified, liso, etc

Para tu pregunta sobre las propiedades de los morfismos de anillos que son locales en varios espectros, usted puede suponer que estas propiedades a menudo "traducir" a los asociados morfismos de afín esquema, y que diversos localidad se puede comprobar gracias a lo que hemos comentado anteriormente. Hay un montón de agradable diversión ejemplos de esto en *Anneaux locaux henséliens" de Michel de Raynaud, LNM, 1er capítulo, por ejemplo. Seguro que en otros libros también. (SGA 1 también...)

Por último, la manera en que lo precede podría ser traducido a la étale topología, por ejemplo, o de otros Grothendieck topologías ? Esto está íntimamente vinculado con el descenso, pero voy a dar sólo una definición sencilla : vamos a $\mathscr{T}$ ser un Grothendieck topología de la siguiente lista : Zariski, fpqc, fppf, syntomic, suave, étale. Sea P una propiedad de esquemas sobre alguna base $S$. P se dice que ser local en la base de la topología $\mathscr{T}$ si se cumple lo siguiente : para cualquier $S$-morfismos $f : X \rightarrow Y$ y cualquier $\mathscr{T}$-cubriendo $\{Y_i\rightarrow Y\}$$Y$, los morfismos $f$ tiene la propiedad P si y sólo si para cada una de las $i$ los morfismos $Y_i \times_Y X \rightarrow Y_i$ tiene la propiedad P.

Tenga en cuenta que como isomrphisms siempre se $\mathscr{T}$-cubrimientos, cualquier propiedad local en la base para $\mathscr{T}$ es preservada por cambio de base. Usted puede entender por qué la base es importante, y tal vez por qué me requerido anteriormente razonable de las propiedades de una clase de morfismos de esquemas. La razón es la siguiente : si $V$ (clásico) abierta en $Y$, el abierto de $f^{-1} (V)$ pero es isomorfo a $V \times_Y X$ $f : f^{-1} (V) \rightarrow V$ no es sino $f : V \times_Y X \rightarrow V$, cambio de base de a $f$ por el open de inmersión $V\rightarrow Y$. Como puede verse en el hecho de que uno imita a los clásicos de la topología (reincorporación definiciones anteriores), en el marco de Grothendieck topologías, gracias a categórico construcciones. Por último, ¿cómo se relacionan las definiciones en el clásico de la topología de caso para la topología de Zariski. Ellos son idénticos, por definición de Zariski de cobertura (una familia de abiertos inmersiones con el recubrimiento de imágenes) y por el anterior categórico comentario.

Estoy casi off-topic, así que voy a parar aquí, diciendo que el SGA IV 1. primera denuncias o Milne Étale Cohomology son buenos lugares para aprender acerca de todo esto.