¿Por qué los anillos artinianos de dimensión Krull son de dimensión 0?

Question

¿Por qué los anillos artinianos de dimensión Krull son de dimensión 0?

Como en el ejemplo de $\mathbb{Z}/(6)$ el ideal $\mathbb{Z}/(2)$ es de primera, creo. Así que los anillos artinianos pueden contener ideales primos. Pero, ¿por qué el ideal primo no contiene propiamente otros ideales primos?

Otra cuestión es que, cuando un anillo es de dimensión Krull 0, ¿es necesariamente artiniano?

Gracias.

Answer 1

La siguiente prueba de que cualquier anillo artiniano $R$ tiene $\text{dim}(R)=0$ es del Teorema 8.1 de Atiyah Macdonald:

Sea $\frak{p}$ sea un ideal primo de $R$ de modo que $S=R/\frak{p}$ es un dominio artiniano (esto se debe a que cualquier cadena descendente infinita de ideales en $S$ podría elevarse a una cadena descendente infinita de ideales en $R$ así porque $R$ es artiniano, $S$ también debe ser artiniano). Para cualquier $x\in S$ debemos tener que $(x^n)=(x^{n+1})$ para algunos $n$ (esto se debe a que $S$ es artiniano, así que no podemos tener una cadena descendente infinita $S\supset (x)\supset (x^2)\supset\cdots$ ), por lo tanto $x^n=x^{n+1}y$ para algunos $y\in S$ sino porque $S$ es un dominio, podemos cancelar para obtener $1=xy$ Por lo tanto $x$ es invertible. Cualquier elemento distinto de cero de $S$ es invertible, por lo que $S=R/\frak{p}$ es un campo, por lo tanto $\frak{p}$ es máxima. Porque cualquier ideal primo de $R$ es maximal, debemos tener que $\text{dim}(R)=0$ .

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El teorema 8.5 de Atiyah Macdonald dice que $R$ es artiniano $\iff$ $R$ es noetheriano y $\text{dim}(R)=0$ .

He aquí un ejemplo de anillo $R$ con $\text{dim}(R)=0$ pero $R$ no es noetheriano, y por lo tanto no es artiniano:

$$R=k[x_1,x_2,\ldots]/(x_1,x_2,\ldots)^2\cong k[\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots]$$ que es un campo $k$ con infinitos elementos nilpotentes $\epsilon_i$ añadido en. Sólo hay un ideal primo de $k$ es decir, el ideal cero, y los nilpotentes no cambiarán eso, así que el ideal $(\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots)$ es el único ideal primo de $R$ pero $R$ no es ciertamente noetheriano - la cadena de ideales $$(0)\subset (\epsilon_1)\subset(\epsilon_1,\epsilon_2)\subset\cdots$$ es una cadena ascendente infinita.

Answer 2

CONSEJO $\ $ Por factorización de un ideal primo se reduce a demostrar que un Artiniano dominio es un campo, que sigue inmediatamente por DCC.

Este método de factorización por un ideal primo para reducir de anillos a dominios es una técnica ubicua de resolución de problemas algebraicos. De hecho, el eminente algebrista Irving Kaplansky se detiene explícitamente a mencionar este método (en un contexto menos trivial) en su libro de texto clásico Anillos conmutativos . Siga el enlace anterior para ver un extracto. Kap no sólo era un gran algebrista, sino también un gran expositor, una combinación poco frecuente. Recomiendo encarecidamente sus exposiciones, en las que recuerdo haber aprendido muchas matemáticas hermosas. ideas .