Supongamos que existen dos grupos tienen la misma tabla de caracteres de complejo de representaciones. Además, todas las entradas de esta tabla de caracteres tienen valor absoluto en la mayoría de los $1$. ¿Esto implica que los dos grupos son isomorfos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Shery
Puntos
16
Si usted está preguntando acerca de grupos finitos, entonces sí.
Todas las entradas tienen un valor absoluto en la mayoría de los 1, por lo que, en particular, todas las representaciones irreducibles son dimensinal, por lo que los grupos en cuestión son abelian. Por lo tanto podemos aplicar el teorema fundamental de finitely generado abelian grupos a ellos para distribuirlos en directo sumas de grupos cíclicos.
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Como por Jyrki Lahtonen sugerencia, hay una manera más sencilla de terminar la prueba: un número finito de abelian grupo es isomorfo a su doble (como en el grupo de personajes), lo cual puede ser demostrado mediante la descomposición de inductivamente: para cíclico grupos es trivial, y el doble de una suma directa es una suma directa de los duales (que no es otra vez muy difícil de ver). A partir de la tabla de caracteres se puede deducir el carácter de grupo, así que hemos terminado.
Si no me equivoco, la investigación de la grupo de personajes es también beneficioso en el general (localmente compacto). El Pontryagin/van Kampen dualidad teorema establece que para cualquier localmente compacto grupo abelian, hay una natural (topológico) isomorfismo entre ella y su doble doble, definido por la $\varphi(x)(\chi)=\chi(x)$ fórmula. Por otro lado, podemos leer el carácter de grupo, y, en consecuencia, el bidual de la tabla de caracteres.
El teorema de dualidad es bastante fuerte una herramienta, sin embargo. Usted puede encontrar los detalles en, por ejemplo, Hewit, Ross: Resumen del análisis armónico, vol. 1.
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