Si $A/\mathfrak a$ es plano sobre a $A$ $V(\mathfrak a)$ está abierto. Por qué?

Question

Estoy tratando de entender la instrucción siguiente.

Deje $A$ ser un noetherian anillo conmutativo y $\mathfrak a\subset A$ es un ideal. Supongamos que el anillo de $A/\mathfrak a$ es plano sobre a$A$, $V(\mathfrak a)$ está abierto en $\operatorname{Spec} (A)$. Cómo probar esto (al igual que el uso de la definición estándar de la planitud)?

Answer 1

Desde $A/\mathfrak{a}$ $A$- plano, el ideal de $\mathfrak{a}$ es generado por un solo elemento idempotente $e$ (por lo $e^2=e$). Esto es una consecuencia de Nakayama del lexema y los usos que $\mathfrak{a}$ es finitely generado (consecuencia de la suposición de que $A$ es Noetherian). (Estoy bastante seguro de que esto está demostrado en algún lugar en el sitio.) Ahora puedes comprobar que $\mathrm{Spec}(A)=D(e)\cup D(e-1)$ es una partición. De hecho, desde la $e^2=e$ obtenemos $e(e-1)=0$, así que para todos el primer ideales $\mathfrak{p}$, $e\in\mathfrak{p}$ o $e-1\in\mathfrak{p}$, y no podemos tener ambos (desde $1\notin\mathfrak{p}$). Por lo $D(e-1)=\mathrm{Spec}(A)\setminus D(e)=V(\mathfrak{a})$ está abierto.

Answer 2

En general, si $A$ es cualquier anillo (no necesariamente Noetherian), a continuación, $A/I$ es plano sobre a $A$ fib $\text{Supp}(I) \cap \text{Supp}(A/I) = \emptyset$ fib $\text{Spec}(A) = \text{Supp}(I) \sqcup \text{Supp}(A/I)$. Esto se deduce del hecho de que una tv de mapa local fielmente plano, por lo tanto inyectiva, por lo que si $p \in \text{Supp}(A/I) = V(I)$, $A_p \to A_p/I_p$ es inyectiva, por lo $I_p = 0$. Por lo tanto, $V(I)$ es abrir el fib $\text{Supp}(I)$ es un conjunto cerrado, lo que ocurre por ejemplo, si $I$ es finitely generado.