Buscando un ejemplo sencillo de la generación de probabilidades desiguales en QM

Question

Estoy tratando de entender el problema de la rama de contar en la Everettian interpretaciones de QM, así que pensé que iba a tratar de analizar un ejemplo sencillo, comenzando con la misma rama de amplitudes que evolucionar en la desigualdad de las amplitudes y mostrar para mí que un ingenuo uniforme contar medida de conflictos con la que Nace de la regla. Tenga en cuenta que no quiero empezar con la desigualdad de las amplitudes de fiat, ya que en tal caso el sentido de la desigualdad de las amplitudes deben ser definidos en lugar de derivados y el argumento será circular. Así que estoy buscando un ejemplo sencillo, como una partícula de espín 1/2 y un arreglo de Stern-Gerlach experimentos, que toma algún estado inicial con la igualdad de las amplitudes como $\frac{1}{\sqrt{2}}$(|+z>+|-z>) y genera desigualdad de las amplitudes de ella. Mi problema es que no he sido capaz de averiguar de un arreglo. Alguien puede dar un ejemplo?

Uno de los intentos que he tenido fue comenzar con una de Stern-Gerlach a lo largo de +Z seguida de Stern-Gerlachs a lo largo de +X y, a continuación, la combinación de trazados en sólo el +X lado el uso de otro de Stern-Gerlach lo largo de la a a la Z, resultando en un total de 5 posibles de medición de resultados { (+Z$\rightarrow$+X$\rightarrow$+Z), (+Z$\rightarrow$+X$\rightarrow$-Z o a -Z$\rightarrow$+X$\rightarrow$+Z), (Z$\rightarrow$+X$\rightarrow$-Z), (+Z$\rightarrow$-X), (-Z$\rightarrow$-X) }. Sin embargo, a continuación, no es claro para mí cómo aplicar el Nacido de la regla para encontrar el experimental expectativa debido a que los diferentes resultados corresponden a las diferentes características observables que se miden simultáneamente.

Tenga en cuenta que la respuesta por Punk_Physicist no es lo que busco, ya que tácitamente se asume que el Nacido de la regla en la definición de la dependencia funcional de la amplitud del ángulo $\theta$ pecado y del coseno.

EDITAR:

Después de los comentarios por tanto Timeo y Rococó me doy cuenta de que mi pregunta puede ser reducido a una mucho más simple instalación experimental. Un solo electrón ser desviado por una sola de Stern-Gerlach imán. La función de onda después de la deflexión será algo como $\frac{1}{\sqrt{2}}|+>+\frac{1}{\sqrt{2}}|->$, y mi pregunta equivale a: ¿dónde la $\frac{1}{\sqrt{2}}$ factores? Ellos no vienen de puro Schrödinger evolución, o no puede asumir unitarity y por lo tanto esencialmente aplicar el $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a mano, porque usted sabe que las probabilidades que se tienen que sumar 1? Es decir, puede ser probado por medio de puro Schrödinger evolución sin ningún renormalization que la función de onda evoluciona a $\frac{1}{\sqrt{2}}|+>+\frac{1}{\sqrt{2}}|->$ más que el más intuitivo $\frac{1}{2}|+>+\frac{1}{2}|->$ que posteriormente se normaliza para hacer cumplir la espera unitarity?

Answer 1

En realidad, creo que lo que pides es imposible, o al menos no físicamente significativa como uno podría esperar. Esto es debido al hecho siguiente: cualquier situación en la que ha desigual de amplitudes entre dos estados puede ser re-formulado como un montón de estados de igual amplitud. Así que, como resultado, es posible describir cualquier estado, como proveniente de un montón de Everettian divisiones que se fueron todos de forma individual iguales.

La prueba de esto es debido a Zurek, y sale de su trabajo en einvariance en la que intenta derivar el Nacido de la regla. Véase, por ejemplo, aquí (si usted tiene acceso institucional, también hay un relato popular en la Física de Hoy en día aquí). En esencia, lo que hace es mostrar, por medio de la simetría de los argumentos, que una enredada estado con igualdad de amplitudes para cada uno de sus resultados deben tener estos resultados ocurren con igual probabilidad. Luego se pasa a mostrar (en la sección IID de la primera hoja de papel) que la desigualdad de las amplitudes, el uso de un auxiliar de enredados estado, siempre se puede descomponer la función de onda en una serie de igualdad de las ramas. Así, por ejemplo, en una rotación de Stern-Gerlach medición siempre es posible describir el proceso de como tener $N$ ramas que son de igual peso, en cuyo caso $N\cos^2{\theta}$ será spin-up (o lo que sea) y $N\sin^2{\theta}$ será spin-abajo.

Dónde deja esto al problema de la rama contar? Así, en lugar de que mi opinión es Scott Aaronson a tomar (de su blog):

En particular, si estamos de acuerdo en hablar de esta manera acerca de una distribución de probabilidad a través de varias copias de sí mismo en las diferentes Everett ramas, a continuación, un montón de conocidos argumentos (Gleason del teorema, Zurek "envariance" argumento, etc.) hacer un caso fuerte que, dado el marco de los espacios de Hilbert y unitaria de la evolución, la distribución debe ser dado por el estándar Nace la regla y no alguna otra regla. Así que la pregunta "¿por qué los Nacidos de la regla?", no es uno que me mantiene despierto por la noche; y en cualquier caso, ciertamente no es un problema especial para MWI (uno podría preguntar en cualquier interpretación).

Edit: tal vez un ejemplo será útil. Empezar con un Mach-Zender interfermeter (de wikipedia):

Esto ya es, supongo, lo que quiere: que brille en la luz que está dividido en partes iguales entre los dos caminos, pero se le da una cierta disposición de las longitudes de trayectoria de la luz sólo salen en el detector 1. Además, usted puede reemplazar los espejos con dos más beamsplitters, y entonces usted tendrá tres salidas: las dos nuevas salidas cada uno tiene probabilidad de 25%, y un detector de 1 ha probabilidad del 50%.

El punto de la anterior, sin embargo, es que se puede considerar esto como una función de onda con cuatro ramas, de igual peso, en el que los dos tienen el mismo resultado de "detector 1." Aquí está la forma explícita esta asignación de obras:

El estado saliendo de esta modificación de Mach-Zender interferómetro es:

$\frac{1}{\sqrt{2}}|1>+\frac{1}{2}|2>+\frac{1}{2}|3>$,

donde |1> es detector 1 y los otros dos tfe son las otras dos salidas. Cuando esto se mide, no se enreda con el medio ambiente, que puede ser representada como:

$\frac{1}{\sqrt{2}}|1 1_E>+\frac{1}{2}|2 2_E>+\frac{1}{2}|3 3_E>$

Ahora, supongamos que usted puede volver a escribir el estado del entorno* como:

$|1_E>=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1_E'>+|1_E''>)$

Esto le permite replantear el estado general como algo con igual coeficientes de ponderación:

$\frac{1}{2}(|1 1_E'>+|1 1_E''>+|2 2_E>+|3 3_E>)$

punto en el cual la probabilidad de que un particular "usted" experimentando cualquiera de los resultados se encuentra justo por rama de contar. Pero, y tal vez este es el punto real, no tendría ningún sentido hacer esta rama de contar en cualquier momento del procedimiento antes de la medición, ya que, en este ejemplo, todo es completamente coherente antes de ese punto y no hay ningún sentido en el que los universos se han dividido.

*Nota para el lector cuidadoso: Zurek en realidad utiliza un adicional de auxiliares del estado de que se enreda con el medio ambiente para proporcionar la separación necesaria para hacer que todos los estados de manera uniforme ponderado. Esto le permite definir sus ramas únicamente por el Schmidt descomposición, lo que evita la arbitrariedad de un cambio de base en la manera en que lo he hecho.

Answer 2

Prepare su spin-1/2 de la partícula a ser alineado en el $+z$ dirección, por lo que tienen de su estado $\left|+z\right\rangle$. A continuación, enviar su partícula a través de una de Stern-Gerlach orientado de tal manera que se está midiendo entre el $z$ $x$ (y en algunos ángulo de $\theta$ en relación al $z$-eje). Llamar a este nuevo eje rotado $z'$.

Ahora bien, si la etiqueta de los autoestados del detector como $\left|\pm z'\right\rangle$, en términos de estos autoestados su estado original, puede ser escrito como $$\left|+z\right\rangle = \cos(\theta)\left|+z'\right\rangle + \sin(\theta)\left|-z'\right\rangle,$$ y así, ahora tienes una manera de elegir continuamente cualquier amplitud entre cero y uno.

Alternativamente, usted puede girar la partícula (por ejemplo, colocando la partícula en un campo magnético fuerte y poco a poco/adiabático rotación de la partícula). En este caso, $\left|+z\right\rangle\to\left|+z'\right\rangle$ y cuando se mide usted encontrará que el estado es $$\left|+z'\right\rangle = \cos(\theta)\left|+z\right\rangle - \sin(\theta)\left|-z\right\rangle.$$ Si además de no creer en el interior del producto normas de estándar de la mecánica cuántica, a continuación, simplemente reemplace$\cos(\theta)$$\langle z|z'\rangle$, que sobre la base física que todavía necesita ser un monótonamente creciente en función de que continuamente mapas de $\theta\in[0,\pi/2]\mapsto|\langle z|z'(\theta)\rangle|\in[0,1]$ (es decir, le da un rango continuo de valores, no sólo de $1/\sqrt{2}$