Cuando se multiplica un número de 4 dígitos por 3/2 ó 1,5, ese número se invierte.

Question

Cuando un número de 4 dígitos se multiplica por 1.5, el orden se invierte. ¿Cuál es el número?

Hice varias cosas. Aquí está mi trabajo.

$1.5(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a$

$1500a+150b+15c+1.5d=1000d+100c+10b+a$

$1499a+140b=998.5d+85c$

Sé $d$ debe ser uniforme, o tenemos un decimal. Además, $d\neq0$

Ahora hasta este punto yo no puedo deducir la relación del $a$ y $d$. Escribí un programa para encontrar el número pero quiero un enfoque intuitivo para enseñar esto a los estudiantes.

Answer 1

Ya tienes $$1499a+140b=998.5d+85c$$ Multiplicando ambos lados por $2$ da $$2\times 1499a+2^3\times 5\times 7b=1997d+2\times 5\times 17c$$

Establecimiento $d=2d'$ donde $d'=1,2,3,4$ y dividiendo ambos lados por $2$ dar

$$1499a+2^2\times 5\times 7b=1997\times d'+5\times 17c\tag1$$

Tenga en cuenta que tenemos que tener $a\le 6$ desde $7000\times 1.5=10500\gt 9999$. (Fimpellizieri ya ha señalado en un comentario.)

Así, en el mod de $5$, $$a\equiv 3d'\implies (d',a)=(1,3),(2,1),(2,6),(3,4),(4,2)$$

• Para $(d',a)=(1,3)$, $(1)\iff 28b=17c-500\lt 0$

• Para $(d',a)=(2,1)$, $(1)\iff 17c=28b-499\lt 0$

• Para $(d',a)=(2,6)$, $(1)\iff 28b=17c-1000\lt 0$

• Para $(d',a)=(3,4)$, $(1)\iff 28b=17c-1$. Desde $c\equiv 1\pmod 4$, $c=1,5,9$ dar $b=\frac{4}{7},3,\frac{38}{7}$ respectivamente.

• Para $(d',a)=(4,2)$. $(1)\iff 17c=28b-998\lt 0$

Por lo tanto, $\color{red}{(a,b,c,d)=(4,3,5,6)}$ es la única solución.