Evaluación de $\lim _{n \rightarrow \infty} (2n+1) \int_0 ^{1} x^n e^x dx$

Question

¿Podría ayudarme a evaluar $\lim _{n \rightarrow \infty} (2n+1) \int_0 ^{1} x^n e^x dx$ ?

He calculado que la relación de recurrencia para esta integral es:

$\int_0 ^{1} x^n e^x dx = x^ne^x | ^{1} _{0} - n \cdot \int_0 ^{1} x^{n-1} e^x dx$

Así que si dejamos que $I_n = \int_0 ^{1} x^n e^x \ dx$ obtenemos $I_n = \left.x^ne^x \,\right |^1 _0 - n \cdot I_{n-1}$ .

¿Puede esto ser útil aquí?

Agradecería toda su ayuda.

Answer 1

Tras el comentario de Ishan Banerjee deja $t=x^n$ por lo que $dx=\frac{1}{n}t^{\frac{1}{n}-1}dt$ y luego $$ (2n+1) \int_0 ^{1} x^n e^x dx=\frac{2n+1}{n}\int_0^1t^{1/n}e^{t^{1/n}}dt\to2e$$ utilizando el teorema de convergencia dominada.

Answer 2

Dejemos que $I_n=\int\limits_0^1x^n\mathrm e^x\mathrm dx$ . Por integración por partes, $(n+1)I_n=\left.x^{n+1}\mathrm e^x\right|_0^1-I_{n+1}=\mathrm e-I_{n+1}$ . Ahora, $0\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n$ por lo que $(n+1)I_n\leqslant\mathrm e\leqslant(n+2)I_n$ .

Esto es suficiente para demostrar que $$ \left(2-\frac3n\right)\cdot\mathrm e\leqslant(2n+1)I_n\leqslant2\mathrm e, $$ por lo que $(2n+1)I_n\to2\mathrm e$ .

Answer 3

A técnica relacionada . Puede utilizar la técnica de integración por partes dejando que $u=e^{x}$ lo que lleva a

$$ I_n = \left( 2\,n+1 \right) \left( {\frac {{{\rm e}}}{n+1}}-{\frac {{ {\rm e}}}{2+3\,n+{n}^{2}}}+\int _{0}^{1}\!{\frac {{x}^{n+2}{ {\rm e}^{x}}}{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }}{dx} \right) .$$

$$\implies \lim_{n\to \infty}I_n = 2 \,\rm{e} + 0 + \lim_{n\to \infty } \int _{0}^{1}\!{\frac {(2n+1){x}^{n+2}{ {\rm e}^{x}}}{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }}{dx} $$

$$ \implies \lim_{ n\to \infty } = 2 \rm e . $$

Nótese que, el cambio del límite con la integral se debe a la convergencia uniforme de la secuencia $$ \frac {(2n+1){x}^{n+2}}{ \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }. $$

Aquí es una técnica para demostrar la convergencia uniforme.

Añadido: Integración por partes,

$$ \int u\, dv = u\,v -\int v \,du. $$

Así que, en su caso $ u = e^{x} $ y $ dv = x^n dx $ .

Answer 4

He aquí un argumento alternativo. Obsérvese que para cada $a\in [0,1)$ , $$\frac{(1-a^{n+1})e^a}{n+1}=e^a\int_a^1x^ndx\le\int_a^1x^ne^xdx\le\int_0^1x^ne^xdx\le e \int_0^1x^ndx=\frac{e}{n+1}.$$ Multiplicando la desigualdad anterior por $2n+1$ y dejar que $n\to\infty$ se deduce que: $$2e^a\le\liminf_{n\to\infty}(2n+1)\int_0^1x^ne^xdx\le\limsup_{n\to\infty}(2n+1)\int_0^1x^ne^xdx\le 2e.$$ Desde $a\in [0,1)$ es arbitraria, podemos concluir que $$\lim_{n\to\infty}(2n+1)\int_0^1x^ne^xdx=2e.$$