¿Cuál es el significado de la base de coordenadas no?

Question

Me refiero a cómo el marco Co campo $e^I(x)$ difiere de la base de coordenadas vectoriales vector Co $dx^\mu$. ¿Cómo interpretarlos? ¿Significa para el vector de coordenadas podemos encontrar las curvas integrales?

Answer 1

Curvas integrales de la no-coordinar (anholonomic) vectores de la base también existen, solo que no forman un sistema de coordenadas.

Este podría ser un poco difícil de tragar, pero el corazón de la cuestión en un sistema de coordenadas, las coordenadas son independientes.

He aquí un ejemplo directo:

Considere la posibilidad de coordenadas polares en $\mathbb{R}^2$. Estos son dados por $$ x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi. $$ El coordinar los vectores de la base son $$ \partial_r=\cos\varphi\partial_x+\sin\varphi\partial_y \\ \partial_\varphi=-r\sin\varphi\partial_x+r\cos\varphi\partial_y. $$

Estos son ortogonales, pero no orthonormal. También podemos norma estos vectores y obtener $$ \hat{e}_r=\partial_r=\cos\varphi\partial_x+\sin\varphi\partial_y \\ \hat{e}_\varphi=\frac{1}{r}\partial_\varphi=-\sin\varphi\partial_x+\cos\varphi\partial_y. $$ La primera es de holonomic, la segunda no lo es, se puede calcular el $ [\hat{e}_r,\hat{e}_\varphi]$ a determinar esto.

Para tratar de interpretar lo que significa para las curvas integrales de la anholonomic conjunto no forman coordenadas, hay que considerar que para el holonomic polar de coordenadas de los vectores, la $\partial_\varphi$ vector es más, cuanto más se aleja del origen. Esto es el esperado, $\varphi$ es un angular de coordenadas, el mismo desplazamiento angular corresponde a más y más real de los desplazamientos, más se aleja del origen.

Considere ahora las curvas integrales del conjunto $\hat{e}_r,\hat{e}_\varphi$ lugar. Visualmente es claro que los "caminos" correspondiente a las curvas integrales son el mismo, PERO la parametrización de la $\varphi$-curvas son diferentes. El campo de vectores $\hat{e}_\varphi$ tiene la misma longitud en todas partes, por lo que todos los "$\hat{\varphi}$" curvas tienen la misma velocidad.

Imagina que estás en el punto de $(r_0,\varphi_0)$. Mover un parámetro de $\bar{\varphi}$ a lo largo de las curvas integrales de $\hat{e}_\varphi$. Dado que las curvas integrales son de la longitud del recorrido parametrizadas (la longitud de $\hat{e}_\varphi$ es 1, después de todo), se mueve una distancia de $\bar{\varphi}$, y ahora están en $(r_0,\varphi_0+\frac{1}{r_0}\bar{\varphi})$ (recuerda que yo soy de los puntos de medición en el original "holonomic" coordenadas, y que el verdadero desplazamiento correspondiente a una coordenada de desplazamiento $\varphi$$\bar{\varphi}=r_0\varphi$, ya que estamos en la radio de $r_0$).

Ahora nos mueven radialmente a $2r_0$, por lo que nuestras coordenadas son $(2r_0,\varphi_0+\frac{1}{r_0}\bar{\varphi})$. Después de esto, nos movemos a lo largo de las curvas integrales de $\hat{e}_\varphi$ el valor de un parámetro de $-\bar{\varphi}$. Esto es, una vez más, "desplazamiento", y su valor en $\varphi$-coordenadas es $-\frac{1}{2r_0}\bar{\varphi}$, ya que ahora estamos en el radius $2r_0$.

Nuestra nueva posición es $(2r_0,\varphi_0+\frac{1}{r_0}\bar{\varphi}-\frac{1}{2r_0}\bar{\varphi})=(2r_0,\varphi_0+\frac{1}{2r_0}\bar{\varphi})$. Ahora nos movemos hacia atrás radialmente de $2r_0$$r_0$, y terminan en $(r_0,\varphi_0+\frac{1}{2r_0}\bar{\varphi})$.

Lo que llama la atención es que no hicimos un bucle en todo, hemos tenido un desplazamiento neto de $\frac{1}{2r_0}\bar{\varphi}$ en el ángulo de dirección.

Ahora bien, si hay en realidad ¿ existe un $(r,\hat{\varphi})$ sistema de coordenadas que se adjunta a la base $(\hat{e}_r,\hat{e}_\varphi)$, entonces en este sistema de coordenadas nuestro camino habría sido $$ (r_0,\hat{\varphi}_0)\mapsto (r_0,\hat{\varphi}_0+\bar{\varphi})\mapsto (2r_0,\hat{\varphi}_0+\bar{\varphi}) \mapsto (2r_0,\hat{\varphi}_0+\bar{\varphi}-\bar{\varphi})=(2r_0,\hat{\varphi}_0)\mapsto (r_0,\hat{\varphi}_0), $$ así que han hecho un "coordinar loop", sin embargo, habría un desplazamiento neto. El "anholonomic coordenadas" no unambigous, porque haciendo un bucle finito, terminamos en un punto diferente, sin embargo, ambos puntos tienen el mismo sistema de coordenadas.

Claramente un sistema de coordenadas que nunca podría trabajar de esta manera.

Answer 2

No estoy seguro de lo que significan sus índices, pero generalmente una base coordenada no se escribirá como $e^\mu_a(x^\nu)$ tal que $g_{\mu\nu}e^\mu_ae^\nu_b = \eta_{ab}$. La cosa que clasifica una base como base coordenada es un desaparición de soporte de la mentira (ver aquí para una pregunta similar).